███████ ████

In ██████ ██████ and ███████ ████████, a ███████ ████ is a ████ of ████████ of a ███████ ██████ ████████ that █████████ a ████ ██████ of ████████, of a ███████ ████. █████████ to a ████████ ████████ of a ████ ████████, a ███████ ████ ███████ or ██████████ in a ███████ ███ ████ ███ ████████ is █████████ to a ██████████ ██████████████. Unlike an ████████ ████████ ████████, ███ ██████████ ███████ ███████████████ ████ as █████████ a ███████ ██████ █ by −█/█, and the ██████████████ ███ is not an █████ ████████ of the ████████, but ████ like the ██████████████ ███ of a █████████████ ████████: the ████████ █████ up an ██████████ ██████, █████████ on the ██████████████. ███████ █████ █████ as an █████████ ██████ between ███████ ████████, ██████ ██████, and ████████. ███████ █████ ████ ██████ in █████ █████, ████ as █████████ ████████, ██████ ███████, and ██████ ██████.

████ █████████, a ███████ ████ is a ███████████ ████████ on the ███████ █████ ████-█████ that ███████ █████████ a ██████████ ████████ with ███████ to the █████ ██████ of the ███████ █████ and a ██████ █████████. A ███████ ████ is a ███████ ████ of an ███████████ ████, which are █████████ ███████ on ███ ██████ that █████████ ██████ with ███████ to the ██████ of ███████ ████████ █████████, ████████████ the ███████ of the ███████ █████ $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\subset \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$ .

The ████ ███████ ████, as a ██████████ ███████████, is ███████ ██████████ to █████ █████. The ██████████ of ███████ █████ across ████████ ██████ of ███████████ has been ██████████ ███████████ in a ████████ ██████████ █████ ██████████ to ██████ ███████ ██████████ ███████ █████ as being the █████ ███████████ █████████ in ███████████, after ████████, ███████████, ██████████████ and ████████.

██████████

In ███████, █████ a ████████ $\Gamma <{\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )$ of ██████ █████ (██████ an ██████████ █████), a ███████ ████ of █████ $\Gamma$ and ██████ $█$ is a ███████████ ████████ $f:{\mathcal {H}}\to \mathbb {C}$ from the █████ ████-█████ ${\mathcal {H}}=\{z\in \mathbb {C} |\Im z>0\}$ ██████████ the following ███ ██████████:

██████████ █████████: for ███ $\gamma \in \Gamma$ , ██ have $f(\gamma (z))=(cz+d)^{k}f(z)$ , and

██████ █████████: for ███ $\gamma \in {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )$ , the ████████ $(cz+d)^{-k}f(\gamma (z))$ is ███████ for ${\text{im}}(z)\to \infty$ .

In ████████, a ███████ ████ is ██████ a ████ ████ if it █████████ the following ██████ █████████:

████████ █████████: For ███ $\gamma \in {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )$ , ██ have $(cz+d)^{-k}f(\gamma (z))\to 0$ as ${\text{im}}(z)\to \infty$ .

████ that $\gamma$ is a ██████

{\textstyle \gamma ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} ),}

██████████ with the ████████ ${\textstyle \gamma (z)=(az+b)/(cz+d)}$ . The ██████████████ of █████████ with ████████ █████ ████████ ███████████ ██████████ to ██████ ██████████████.

███████ █████ for ██(█, █)

A ███████ ████ of ██████ $█$ for the ███████ █████

{\text{SL}}(2,\mathbb {Z} )=\left\{\left.{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\right|a,b,c,d\in \mathbb {Z} ,\ ad-bc=1\right\}

is a ████████ $█$ on the █████ ████-█████ ${\mathcal {H}}=\{z\in \mathbb {C} \mid \operatorname {Im} (z)>0\}$ ██████████ the following █████ ██████████:

$█$ is ███████████ on ${\mathcal {H}}$ .
For ███ $z\in {\mathcal {H}}$ and ███ ██████ in ${\text{SL}}(2,\mathbb {Z} )$ , ██ have
$f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=(cz+d)^{k}f(z)$ .
$█$ is ███████ as $\operatorname {Im} (z)\to \infty$ .

███████:

The ██████ $█$ is █████████ a ████████ ███████.
For ███ $█$ , ████ the ████ ████████ can ███████ the ██████ █████████.
The █████ █████████ is ████ ███████ by ██████ that $█$ is "███████████ at the ████", a ███████████ that is █████████ below. ██████████, the █████████ █████ that there █████ some $M,D>0$ ████ that $\operatorname {Im} (z)>M\implies |f(z)|<D$ , ███████ $█$ is ███████ above some ██████████ ████.
The ██████ █████████ for

S={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}},\qquad T={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}

█████

f\left(-{\frac {1}{z}}\right)=z^{k}f(z),\qquad f(z+1)=f(z)

████████████. Since

█

and

█

████████ the █████

{\text{SL}}(2,\mathbb {Z} )

, the ██████ █████████ above is ██████████ to █████ ███ █████████.

Since $f(z+1)=f(z)$ , ███████ █████ are ████████ █████████ with ██████ █, and ████ have a ███████ ██████.

███████ and ████████-█████ ██████████████

A ███████ ████ can ████████████ be ███████ as a ████████ █ from the ███ of ████████ in █ to the ███ of ███████ ███████ which █████████ ███████ ██████████:

If ██ ████████ the ███████ █ = ██ + ██ █████████ by a ████████ █ and a ████████ █, ████ █(█) is an ████████ ████████ of █.
If █ is a ███-████ ███████ ██████ and ██ is the ███████ ████████ by ███████████ ████ ███████ of █ by █, ████ █(██) = █^−██(█) █████ █ is a ████████ (█████████ a ████████ ███████) ██████ the ██████ of the ████.
The ████████ █████ of █(█) ███████ ███████ above as ████ as the ████████ █████ of the ████████ ███-████ ███████ in █ is ███████ ████ from █.

The ███ ████ in ███████ the ███████████ of the ███ ███████████ is that ████ a ████████ █ is ██████████, because of the ██████ █████████, by ███ ██████ on ████████ of the ████ █ + ██, █████ █ ∈ █.

████████

█. ██████████ ██████

The ████████ ████████ from this █████ of ████ are the ██████████ ██████. For ████ ████ ███████ █ > █, ██ ██████ █_█(█) to be the ███ of █^−█ over ███ ███-████ ███████ █ of █:

G_{k}(\Lambda )=\sum _{0\neq \lambda \in \Lambda }\lambda ^{-k}.

████ █_█ is a ███████ ████ of ██████ █. For █ = █ + ██ ██ have

G_{k}(\Lambda )=G_{k}(\tau )=\sum _{(0,0)\neq (m,n)\in \mathbf {Z} ^{2}}{\frac {1}{(m+n\tau )^{k}}},

and

{\begin{aligned}G_{k}\left(-{\frac {1}{\tau }}\right)&=\tau ^{k}G_{k}(\tau ),\\G_{k}(\tau +1)&=G_{k}(\tau ).\end{aligned}}

The █████████ █ > █ is ██████ for ███████████; for ███ █ there is ████████████ between █^−█ and (−█)^−█, ██ that ████ ██████ are ███████████ ████.

██. █████ █████████ of ████ ██████████ ████████

An ████ ██████████ ███████ █ in █^█ is a ███████ █████████ by █ ███████ ███████ the ███████ of a ██████ of ███████████ █ and ██████████ the █████████ that the ██████ of the ██████ of ████ ██████ in █ is an ████ ███████. The ██-██████ █████ ████████

\vartheta _{L}(z)=\sum _{\lambda \in L}e^{\pi i\Vert \lambda \Vert ^{2}z}

█████████ ████ ██(█) > █, and as a ███████████ of the ███████ █████████ ███████ can be █████ to be a ███████ ████ of ██████ █/█. It is not ██ ████ to █████████ ████ ██████████ ████████, but ████ is ███ ███: ███ █ be an ███████ █████████ by █ and ████████ ███ ███████ █ in █^█ ████ that ██ has ███████ ███████████, ██████ ███ ████ or ███ ███, and ████ that the ███ of the ███████████ of █ is an ████ ███████. ██ ████ this ███████ █_█. ████ █ = █, this is the ███████ █████████ by the █████ in the ████ ██████ ██████ █_█. Because there is ████ ███ ███████ ████ of ██████ █ up to ██████ ██████████████,

\vartheta _{L_{8}\times L_{8}}(z)=\vartheta _{L_{16}}(z),

████ ██████ the ████████ █_█ × █_█ and █_██ are not ███████. ████ ██████ ████████ that the ██-███████████ ████ ████████ by ████████ █^██ by █████ ███ ████████ are ████████████ ████████ of ███████ ██████████ █████████ which are ███████████ but not █████████ (███ ███████ the █████ of a ████.)

███. The ███████ ████████████

The ████████ ███ ████████ is ███████ as

\eta (z)=q^{1/24}\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n}),\qquad q=e^{2\pi iz}.

█████ █ is the ██████ of the ████. ████ the ██████████ ███████ ████████████

\Delta (z)=\eta (z)^{24}=q\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n})^{24}

is a ████ ████ of ██████ ██. The ████████ of ██ is ███████ to the ████ that the █████ ███████ has ██ ██████████. A ██████████ ██████████ of █████████ ████████ that ████ █(█) is ████████ as a █████ ██████ in █, the ███████████ of █^█ for ███ █████ █ has ████████ █████ ≤ ██^██/█. This was █████████ by the ████ of ███████, ███████, ████, █████, and ██████ ███████ as a ██████ of ███████'s █████ of the ████ ███████████, which were █████ to █████ █████████'s ██████████.

The ██████ and █████ ████████ ████ some ████ of the ██████████ between ███████ █████ and █████████ █████████ in ██████ ██████, ████ as ██████████████ of ████████ by █████████ █████ and the █████████ ████████. The ███████ ██████████ ████ between ███████ █████ and ██████ ██████ is █████████ by the ██████ of █████ █████████, which ████ █████ the ████ between the ██████ of ███████ █████ and ██████████████ ██████.

███████ █████████

A ███████ ████████ is a ████████ that is █████████ with ███████ to the ███████ █████, but without the █████████ that it be ███████████ in the █████ ████-█████ (among █████ ████████████). ███████, a ███████ ████████ for a ██████-█████ ████████ $\Gamma$ of the ███████ █████ is a ███████████ ████████ on the █████ ████-█████ that is █████████ under the ██████ of $\Gamma$ and is ███████████ at the █████. ████████████, it is a ███████████ ████████ on the ████████████ ███████ █████ ██████████ with $\Gamma$ .