████████████████████

Die ████████████████████ ist eine der █████████████ ███████████ der ███████████████, die ██████████ eine der ███████████ der ████████ ██████ ist. ███ ██████████ die █████████ ███████████ des ███████████████████ ████████ eines ██████████████ ███████ in █████████████████████ ████████ in ████ einer ██████████ █████████████████████. Die █████████ wurde ████ von █████ ███████████ ███ die ███████████ von █████████████ (██████████████) ███████████ und bei █████ ██████ █████████ ███████████ zur █████████ des █████████ des ████████████████, des ████████████ ███████████ und des ███████████ ████████ ███████.

Der ███████ eines ███████ mit ███ einem ████████ wird zu █████ █████████ durch eine ██████████████ ███. in █████████████ ████ als ██████████████ in einem ███████████ █████████████. ████████████ sind die ███████ $\psi ({\vec {r}},t)$ ███. $|\psi (t)\rangle$ oder █████████ $\psi$ . In der ██████████████ ████████████████████ wird ein ████████████████ $(\,{\hat {H}}\,)$ auf den ███████ ██████████, und das ████████ █████, wie der ███████ sich mit ████████████████ ████ █████████:

\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}={\hat {H}}\psi

(Darin ist $\mathrm {i}$ die █████████ ███████, $\hbar$ die ██████████ ██████-█████████ und ${\tfrac {\partial }{\partial t}}$ █████████ █████████ nach der ████ $t$ , also die ████████████████████████). ████████ ██████ █████████ ███████ es sich bei der ██████████████ ████████████ um eine ██████████████ ████████, deren █████ als ██████ ██████ █████████ ██████████████ █████ ███████████ und daher auch █████ ███████████ im █████████████████ ████ ████████████ █████ ██████████ ██████. █████ █████████ der ███████ einer ██████████ ███████████ auch daran, dass die ██████████████ eines ███████ aus ████████ ████████ von den ███████████ aller ████████ ███████, bei ████ ████████ z. B. in der ████ $\psi ({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2},t)\;$ , ███ eine in einem ██████████ ████ mit █ ███████████ ██████████ ████████ ist. ██████ ██████ sich ███ alle am ██████ █████████ ██████ aus der ██████████████ ███████████ ████ die ██████████ von █████████ █████████.

████ das █████████████ ein ████████ in der ███████████ ████████ hat (████████: ein ████████ in einem █████████), dann ██████ sich der ████████████████ durch █████████ der ██████ ██████ der ██████ █████████████ aus der ██████████████ ███████████ ████████████████, das ist die █████████████, ███████████ als ████████ ██████████ █████████. In ██████ ███████████ werden ██████████████████ aber auch ohne ███████████ ███████ ██████ nach ███████████████████ ███████████████ ███████████ (████████: ██████████████).

Im ███████████ █████████ die ██████████████ im █████ der ████ ████ ████. Damit ██████ █████████████ ████████ ███████████ werden wie z. B. die ███████████, ████████ und ███████████ eines █████████ █████ der ███████ eines ██████████ ███████ wie z. B. bei ███████████████████. Bei ███████ ████████████████ ███████ der ████████████████ aber █████ ████████ der ████, ███████ ███ eines █████████ ████████ █████████████, so dass ███ █████ ████████████████ an █████ ███ das ██████████████ mit der ████ ████████ ██████. Die ██████████████ ████████ sind ██████████ ████████, auch als █████████████ des █████████████████ ███. als ██████████████ des ████████████ ██████████████ ██████████. Die ███████████████ ████████████████████ ██████████ das █████████ ██████ ███████████ ████████████████ und damit die ██████████ der ███████ und ██████ ████████ █████████████ des ███████ im ██████████ █████████████.

Die ████████████████████ ██████ das █████████ ███ █████ ████████████ und ██████████ ███████████ der ███████████████. So ██████ seit ████ die █████████ ███████████ █████████████ und ████████████████ von ██████ und █████████ bis hin zu █████ ██████████ ██████████, █████ von ███████████ bis hin zur █████████ ███████████ █████ ███████████ wie z. B. ██████████, und nicht ███████ die ██████████████████ ████████████ von █████████ wie die ████████ von █████ und der ████████ ███████████ ███████. Allerdings ██████████ die ████████████████████ in █████ ████████████, aus der ███████████ █████████████████████ ██████ ██████████ ████ ████ █████ █████████, ███ deren █████████ die ███████████████████ ████████ wird, wie z. B. ████, ██████████ und ███████████ von ████████ und ████████████, █████ █████████ ██████████ der ██████████████ █████ █████ beim ███████████ ████, dem des ████████████.

████ zur ████████████████████

Die ████████████████████ kann aus der ███████████ ██████ nicht ███████████, ███████ ███ █████████ werden. ███ █████ als ████████ am ██████ der ██████████████. Im █████████ werden ████ ████, die zu ███ ██████, ███████████.

██████ der █. █████████████

Die aus der ███████████ ██████ ████████ ████████████████ $█$ ████ die ███████ eines ██████████████ ███████ als ████████ von ██████████ ████████████ ███████████ und ████████ (im ███████████ ████ ███ ${\vec {r}}$ und ████████████ ██████ ${\vec {p}}$ ) an. Im ████████ eines █████████ der █████ $m$ in einem █████████ mit der ████████████ ███████ $V({\vec {r}},t)$ ████

H={\frac {{\vec {p}}^{2}}{2m}}+V({\vec {r}},t)

Darin werden die ███████████ ██████ durch die ██████████████ ███████████████████ ██████████ ███████:

{\begin{matrix}H&\rightarrow &{\hat {H}}&=&\ \mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\\{\vec {p}}&\rightarrow &{\hat {\vec {p}}}&=&-\mathrm {i} \hbar \nabla \\{\vec {r}}&\rightarrow &{\hat {\vec {r}}}&=&{\vec {r}}\end{matrix}}

Aus der ██████████ der ████████████████ wird damit die ██████████ des █████████████████ ███ ein ████████ in einem █████████

{\hat {H}}={\frac {{\hat {\vec {p}}}^{2}}{2m}}+{\hat {V}}({\vec {r}},t)

████████ auf die ██████████████ $\psi =\psi ({\vec {r}},t)$ ██████ die █████████████ ████████████████████. Im ████████

\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta \psi +V({\vec {r}},t)\psi

█████████

\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}={\hat {H}}\psi

███ ████████████████ █████████ $V({\vec {r}})$ ███████ der █████████████ $\psi ({\vec {r}},t)=\exp(-\mathrm {i} Et/\hbar )\psi ({\vec {r}})$ die ███████████████ ████████████████████

{\hat {H}}\psi =E\psi

████ ist eine ██████████████████. ███ wird ███ ███ █████████ █████ $E$ und ██████████ $\psi ({\vec {r}})$ ███████. █████ █████ die ████████ und die ████████████████ der ███████████ ████████ an.

█████████████ █████████ von ██████ █████████████

Aus den ██ ███████-████████-███████████ ███ die █████████████ ██████ sich ███ ein ██████ ████████ mit ██████ ${\vec {p}}$ und ███████ $E=p^{2}/2m$ die ████████████ $\psi ({\vec {r}},t)=\exp(-\mathrm {i} ({\vec {p}}\cdot {\vec {r}}-Et)/\hbar )$ . Mit ██████ █████████ als ██████████████ ist dann ein ██████████ ███████ des █████████ als █████████████████ durch ${\textstyle \Psi ({\vec {r}},t)=\int F({\vec {p}})\exp(-\mathrm {i} ({\vec {p}}\cdot {\vec {r}}-Et)/\hbar )}$ ████████████. Darin ist $F({\vec {p}})$ die █████████, mit der die █████ mit ██████ ${\vec {p}}$ in dem ███████ █████████ ist. Die █. █████████ nach der ████ ist

\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi ({\vec {r}},t)=\int EF({\vec {p}})\exp(-\mathrm {i} ({\vec {p}}\cdot {\vec {r}}-Et)/\hbar )

████ ist █████ $E=p^{2}/2m$ ████████████ zur █. █████████ nach dem ███

-\hbar ^{2}\nabla ^{2}\Psi ({\vec {r}},t)=\int p^{2}F({\vec {p}})\exp(-\mathrm {i} ({\vec {p}}\cdot {\vec {r}}-Et)/\hbar )=2m\int E\,F({\vec {p}})\exp(-\mathrm {i} ({\vec {p}}\cdot {\vec {r}}-Et)/\hbar )

der ███████████████████████ ist $1/2m$ . Daher ████

\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi ({\vec {r}},t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi ({\vec {r}},t)

Das ist die █████████████ ████████████████████ ███ ein ██████ ████████.

████████████ ███

████████████ ██████ █████████████ ist der von █████ ██ ███████ ███████████ ███████, dem ████████ eine █████ $\psi$ ██████████, die in ██████ ███████████ █████████ im ████ die ████ einer █████████ █████ hat. Die ███████████ von einer ███████████████ ████ des █████████ ██████ sich dann als ein in ███████ ██████ ██████████████ ████████████ ████ ███████, wie bei der ███████████ von einem ███████████████ ███████████ im ██████████ zur ████████████ ██████████. ███ den ████████████ der ████████████ ██████ ██████ $p$ und ██████████ ███████ $E_{\mathrm {kin} }=E-V$ des █████████ mit den ███ die ████████ █████ ██████████ ██████ ████████ $\nu$ (███. $\omega =2\pi \nu$ ) und ███████████ $\lambda$ wurden die aus der ███████ █████████████ ███ ████████████ und ██████ █████████ ███████████ █████████:

E_{\mathrm {kin} }=\hbar \omega

p={\frac {2\pi \hbar }{\lambda }}

█████ die ███████-███████████████ der ███████████ ████████

E_{\mathrm {kin} }={\frac {p^{2}}{2m}}

████████████ ███████ █████████████ ist die ████████████ ███████████ zwischen der ███████████ █████████████ ██████████ (in █████ █████████████ ████ mit dem ███████ der █████████ ███████) und der █████████████ █████ ████████████ (████████████ mit dem ████████████ ███████). Daher █████ ███████████ ███ die ████████████ $\psi$ im ████, dass es sich um eine ████████ █████ ██████████ ████████ ███████, ████████ eine ██████████ ███████████████ an:

\Delta \psi -{\frac {1}{u^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi =0

Darin ist $u$ die █████████████████████ der █████, die nach der ████████ zur █████████████ ████████ mit der ███████████████ █████████████ wird, mit der ████ die ███████ ████████ ███████ █████████████. Mit der (██████████████) ████████████ ███████ $V$ ████:

u={\frac {E}{\sqrt {2m(E-V)}}}

Im ████ der ████ ████████████ ████████ ███████ $\psi$ die ████████████████ in ████ eines █████████████ $\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega t}$ . █████

{\frac {\partial }{\partial t}}\psi =-i\omega \psi =-\mathrm {i} {\frac {E}{\hbar }}\psi \quad

███.

\quad {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi =-\omega ^{2}\psi =-{\frac {E^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi

███████████ sich die ███████████████ zu

\Delta \psi +{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(E-V)\psi =0

████ ist eine ██████████████████ ███ die ███████ $E$ , die sich in den ██████████ mit ████████████ ██████████ (█-████, ████████████ ██████████, ███████ ███████) ███████. Wird dann aus den beiden ███████ ███████████ die ████████ $E$ ██████████, ████████

(\Delta -{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}V)\psi +{\frac {2m\mathrm {i} }{\hbar }}{\frac {\partial }{\partial t}}\psi =0

███ ███████████ ██████████ ist █████ █████████ ██████████ zur ██████████. ███████████ ██████████ ███ ███ als die ██████████ ███████████████, die ███ ████ █████████ ████████████, also auch ███ nicht-██████████ ████████ ██████ ████. Nach ██████████ ist es die ████████████████████:

\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta \psi +V\psi

████████████ nach ███████

Eine ██████ ███████████, die ████████████████████ ████████████, ███████ den von ███████ ███████ ████████████ ███████ des █████████████. █████ ███████████ ██████████ ██████████ die ████████████████████ ███ die █████████████ ██████████ (█████) des zu ██████████████ █████████ von einem ███ $A$ nach $B$ und █████ damit ██████ zu derselben ████████████████████. Auch ███████ ██████ die ██████████ ███████ $S$ eine ████████ █████.

█████████ der ████████████████████ und █████████████

██████████ █████████████

Mit der ████████████████████ wurde die ██-███-████████████ des █████████ ███████████ ██████████ (wie ████ █████ █████ mit der ███████ █████████████ ██████████’█████ ████████████████). Die █████████ ██████████████ des ████████████████, die im █████████ ██████ ██████████ ███████████ ██████ eines █████████ im ████████████████ des █████████ ██████████ sind, ███████ sich aus der (████████████████) ████████████████████ als deren ██████████.

███████ ein ████████ in der ███████████ ████████ █████ einen ██████████ ███ ${\vec {r}}$ hat und eine █████████ ████ ${\vec {r}}(t)$ ██████████, die durch die ██████████ ██████████████████ ████████ ist, ███████ in der ███████████████ die ████████████████████ eine █████████████████████████████ $|\psi \left({\vec {r}},t\right)|^{2}$ ███ den ██████████████ des █████████. ███ ███████ auch █████████████████ davon, dass das ████████ zu █████ █████████ ████ den ████ █████████████ sei. ███ ████████████████████ ist █████ █████████ ██████████ ████████ ████████, ███ ██████ ████████ nicht.

Die ███████████████ ████ als ████████████ ███████ aber auch die ██████████ ████████ ████████. █████ █████████████ wird z. B. durch das █████████-███████ ███████████, dem ███████ der ██████████ der ██████████████████ █████████████████████████████ ███ die ██████████████████ sich so ██████ wie von der ███████████ ██████████████████ ██████████████. ███████ wird die █████████████ bei █████████████ █████████████, wie ███ sich z. B. durch █████████████████ der ████████████████ des ████████████████ zu ███████ █████████████ ████████████ ██████. ██████ ████████ ███████████ also einer ██████████ ████████████ ██████ ███████ █████████████████.

Die ████████████████████ ist ███████████████, das █████, dass bei ███████ eines ███████████████ die ███████ ███████████ der ██████████████ █████████. In ████████ ████████, d. █. ███ █████ ██████████████ $\Delta t$ , wird ███ ███████ die █████████ █████████████ von $\psi$ mit einem ███████████████ ██████████ der durch den ████████████████ ████████████ ██████████████ $\left[{\hat {H}}\psi \right]$ :

\psi \left({\vec {r}},t+\Delta t\right)\approx \psi \left({\vec {r}},t\right)+\Delta t{\frac {1}{i\hbar }}{\hat {H}}\psi \left({\vec {r}},t\right)

████████████ ███████ █████ ████████████████ nach der ████████████ ███████ ███ die █████████ von ███████████████ ███ ████████████ ██████, aus denen z. B. die ███████████ und ██████████ von ███████████████ in █████████████ ███████████████████ zu █████████ sind. Nach der ████████████ ███████ der ███████████████ █████ ████ nicht an einem ██████ der █████████████ oder an einer █████████████████ der ████████████████████ durch die ██████████████, ████████ ████ die ██████████████ eine ████████████ ████████████ und die ██████████ sind durch die █████ ██████ ███████. Die mit dem ███████████ ██████████ █████████ ███████ ███ eines der █████████ █████████ █████ █████████████████ und kann nicht durch die ████████████████████ ███████████ werden.

Zu den █████████ ███████████ der ████████████████████ sei auf die ██████████████ ███████ █████████, z. B. ███████████████, ████████ im ██████, ████████████ ██████████ (███████████████), ████████████, ███████████, ████████████, █████████████ (██████████), █████████████, █████████ ███████, █████████████, ████████████ des ███████████.

In der ████████████████████ wird die ██████████████ als ████████ ████████████ █████████, ███████ die ██████████ ███ ████████ █████████████ ██████ als ████████ █████████ werden. ██████ ███████████ ███████████-████ █████ das ██████████-████ █████████. ████ ██████ der ███████ ███████████ und die ██████████ ██████ der ███████████████ ██████████████████. Die beiden ██████████████ sind ████████████ ██████████.

██████████ der ██████████████

███ die ████████████ ██████████████ der ███████████████ ist es █████████, die ████████ der ████████████████████ so zu █████████, dass

\int _{\mathbb {V} }|\psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}\;\mathrm {d} ^{3}r=1

ist. Darin ist $\mathbb {V}$ das ███████, in dem das ████████ sich mit ██████████ ███████. █████ ██████████ ████████████████████ ████ aus, dass die ██████████████████, dass das ████████ ████████ im ████████ ███████ zu ██████ ist, ██████ █ ist. ███ die so ██████████ ██████████ ████████ ██████████ dann ${\textstyle |\psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}=\psi ^{*}\psi }$ der ████████████████████████████████████ des █████████ am ███ $\mathbf {r}$ zum █████████ $t$ . ████ ███████, wird der █████ ████ $\mathbb {V} =\mathbb {R} ^{3}$ ███████. Allerdings ist dann nicht ████ ██████ einer ████████████████████ auf █ ██████████ (███████ auf eine █-████████).

Die █████████ ███████████ nach der ███████████-█████████ █████ die ████ ███████████. ████ █████ sich durch ████████ ███████████ ██████████ oder ████████ des ███████-████████ daraus ███████, dass die ███████████-█████████ unter der ████████████████████ $\psi (\mathbf {r} ,t)\rightarrow \psi ^{\prime }(\mathbf {r} ,t)=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \alpha }\psi (\mathbf {r} ,t)$ █████████ ist, also eine U(█)-█████████ █████.

███████████████ von ██████████

Aus der ██████████████ ███████ sich die ██████████████ █████████████ des █████████ im ████████████ ███████. ██████████████ wird der ██████████ ████ ███ den ███ des █████████ $\mathbf {r} (t)$ durch den █████████ ███ des █████████ zur ████ $t$ , also

\mathbf {r} (t)\rightarrow \langle \mathbf {\hat {r}} \rangle (t)=\int \mathbf {r} |\psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}\mathrm {d} ^{3}r

███████, ███████ der ██████████ ████ ███ den ██████ des █████████ durch █████████ ██████████ ███████ wird:

\mathbf {p} (t)\rightarrow \langle \mathbf {\hat {p}} \rangle (t)=\int \psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)(-\mathrm {i} \hbar \nabla )\psi (\mathbf {r} ,t)\mathrm {d} ^{3}r

████ ██████████ █████████ $f(r,p,t)$ wird so durch eine █████████ des ███████████ █████████ ████ den ████, in dem sich das ████████ ████████, ███████:

f(\mathbf {r} (t),\mathbf {p} (t),t)\rightarrow \langle {\hat {f}}\rangle (t)=\int \psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)f(\mathbf {\hat {r}} ,\mathbf {\hat {p}} ,t)\psi (\mathbf {r} ,t)\mathrm {d} ^{3}r

Der ████████ $\langle {\hat {f}}\rangle$ wird als ██████████████ von $f$ ██████████. Der ██████████████ der ███████ ist ██████ $\langle {\hat {H}}\rangle$ .

████████████████ der ████████████████████

Die ████████ der ████████████████████ (███. ██████████████) ██████ in █████ ████████ die █████ ████████████████ und ██████ ab (eine █████████████: ███ ██████ ██████████ ████████ █████ sind ███████████████ ███████████ nicht ████ █████). ████████ in █████████████ ████ ████ es allerdings ███ ███ einige Ein-████████-███████ (███████████████, █████████████████, ████████████ ██████████, █████-█████████, …). Ab ██████████ oder ██████████████████ ist ███ auf ██████████ █████████ ██████████.

Mit █████████████████████ und ██████████ ████████ (████████████████, █████████████████, …) ██████ sich ███████ mit bis zu etwa ██ ██████████ █████████ so █████████, dass das ████████ mit ██████████ █████████████ gegen die ██████ ██████ ███████████. Ein ████████ ███████ █████████ ist █████████████ ███████████.

Bei ██████ ██████████████████ ist im $N$ -████████-████ eine ██████████████ im $3N$ -█████████████ ██████████████████ zu █████████. █████████ ███ $q$ (██████████- oder ██████████-) █████ je █████████, dann sind $q^{3N}$ █████ zu █████████. Im ████████ █████ es █████ ████████████ █████████ ███████████ an ████████ und ██████████████ ███ die ███████ ███████ █████████, ██████████ █████ ███████████ █████████████ (ein █████-███████ z. B. ███████ ████ ████████████████ und ██ ██████████). ██████ ████ hat ██████ █████████████ ████████ an ██████████ ██████████ als „███████████████████“ ██████████.

███████ ███████ werden daher mit ██████████████ ██████████████████ ██████████. ████████ █████████ sind die ███████-████-████████, deren █████████████ und in der █████████████ ██████ die █████-████████-███████. Eine ███████████ ██████ die auf ██████ ████ █████████████ ███████████████████████, da █████ ███████ die ████████ „███████████████████“ ██████. Damit ██████ sich mit ab ██████-██████████ ████████████████ und ████████████████ auch █████████████ █████ und ████████████ █████████, █████ die ██████ im ██████████████ ███████.