██████████████████████████

Die ██████████████████████████, auch ███████████████████████████ oder █████████████, ist ein ██████████ der ██████████, das aus der ██████████████, der ████████████ und der ████████████ von ████████████████ ██████████████ ist. █████████ mit der ██████████████ █████████, die ██████ von █████████████ ██████████ ████████ ████████ ████ das ████████ ████████ ██████ ██████, ██████ ███ das █████████████ ██████████ der ██████████.

Die █████████ ███████ der ██████████████████████████ sind █████████ ██████████, ████████████████ und █████████████ ████████.

█████████████ ██████

Wie █████ ██████████ der ████████ ██████████ wird auch die ██████████████████████████ █████████████████ ██████████ und auf █████████████ ████████ █████████. █████████████ der ██████████████████████████ sind ██████████, die als ██████ ██████████ werden und denen ████████████████████ ██████████ sind; ████████████████████ sind ██████ ██████ zwischen █ und █; die █████████ von ████████████████████ zu ███████████ ████ ████████ ████████████████████ ███████.

█████ ████████████ █████ ██████ ███████ darauf, wie ███ die ████████████████████ █████████ ██████████ █████████ kann; ███ █████ auch ██████ ███████ aus, ███ ██████ und ███ ██████████████████ ██████████ sind. Die █████████████ ████████████ der ██████████████████████████ ist █████ ███ ████████████ ████████████████ █████, ████ ██████████ sind ███████ █████ und vom ██████████ ███████████ des ███████████████████████████ ██████████.

████████████

█████████████ wird als █████████ der ██████████████ ███████████ von einem ██████████████ oder █████████████████ ███████████. Alle █████████ ██████████ ██████ ███████████████ █████ ███ in der █████████████ $\Omega$ ████████. ██████ ████████████ ███ sich ██████ gar nicht ███ das ██████ ████████ $\omega \in \Omega$ , ███████ ███ █████, ob es in einer ██████████ █████████ der █████████████ █████, ███ so █████████████ werden kann, dass ein ████████ ███████████ ist oder nicht. Ein ████████ ist also als eine █████████ von $\Omega$ █████████. ███████ das ████████ █████ ein ███████ der █████████████, ███████ es sich um ein █████████████████. ████████████████ ██████████ █████████ ███████ ██████████. Das ████████ ist also ein ███████ der █████████████, das ████████ ██████ eine █████████.

Damit ███ den ███████████ in ██████████ █████ ████████████████████ ████████ kann, werden ███ in einem ████████████ ██████████, der ███████████████ oder dem ██████████████ $\Sigma$ ████ $\Omega$ , einer █████ von ██████████ von $\Omega$ , ███ die ████: ███ ███████ $\Omega$ und ist ein █-██████, d. █., ███ ist █████████ den █████████████████ der ███████████ und der █████████████████ (███████ ████. $\Omega$ ) █████████████ ███████ wie █████████ der ███████████ ███████████ █████████ ██████ ██████. Die ████████████████████ sind dann ██████ einer ████████ █████████ $P$ des █████████████ in das █████████ [█,█]. █████ eine █████████ █████ ██████████████████████. Das ██████ $(\Omega ,\Sigma ,P)$ wird als ███████████████████████ ██████████.

██████ von ██████████

Die ████████████ ██████████ der ██████████████████████████ wurde in den ██████ ██████ von ██████ ██████████ ██████████ und ████ ██████████. █████ ████████████ aus █████ ███████ ██████████ █████████ wird ████████ in █████████ ██████████ ████ ███████████. Ein ██████████████████████ ████ ████████ ████ ██████ ████████:

██████:

███ █████ ████████ $A\in \Sigma$ ist die ██████████████████ von $A$ eine ██████ ████ zwischen █ und █: $0\leq P(A)\leq 1$ .
Das ███████ ████████ $\Omega \in \Sigma$ hat die ██████████████████ █: $P(\Omega )=1$ .
Die ██████████████████ einer ███████████ █████████ ██████ █████████████ ██████████ ist ██████ der █████ der ████████████████████ der █████████ ██████████. Dabei ██████ ██████████ $A_{i}$ ████████████, ████ ███ █████████ ████████ sind, also bei $A_{i}\cap A_{j}=\emptyset$ ███ alle $i\neq j$ . Es ████ daher $P\left(A_{1}\;\;\!\!{\dot {\cup }}\;\;\!\!A_{2}\;\;\!\!{\dot {\cup }}\;\;\!\!\!\cdots \right)=\sum P(A_{i})$ . █████ ███████████ wird auch █-███████████ ███████.

████████: Im ██████ einer ██████████████ █████████████ wird ein ██████████████████████ zur ███████████████ der ████████████████████ von ███████████ eines ██████████ █████████; die █████████ ██████████ █████ ████ und ████ ██████.

Dann ist die █████████████ $\Omega =\{{\text{Zahl}},{\text{Kopf}}\}$ mit ████ █████████ ███████████.
Als ████████████ $\Sigma$ kann die ███████████ ${\mathcal {P}}(\Omega )$ ███████ werden, also $\Sigma =\{\emptyset ,\{{\text{Zahl}}\},\{{\text{Kopf}}\},\Omega \}$ mit ████ ███████████.
Ein ██████████████████████ P █████ den ███████████ ████████████████████ (██████ im █████████ [ █ , █ ] ) zu. Dabei ████ ████████ der ██████:
- $P(\emptyset )=0$
- $P(\{{\text{Zahl}}\})=1-P(\{{\text{Kopf}}\})$
- $P(\Omega )=1$

███████████ █████████████ ████████ ████ die ██████████████ der █████ ██████ zur ████ $P(\{{\text{Kopf}}\})=P(\{{\text{Zahl}}\})=0{,}5$ ██████.

███████████

Aus den ███████ ███████ sich ███████████ einige ███████████:

█. Aus der ███████████ der ██████████████████ ██████████ ██████████ █████, dass █████████████ ██████████ (███████████████) █████████████ ████████████████████ (█████████████████████████) haben: $P(\Omega \setminus A)=1-P(A)$ .

██████: Es ist

(\Omega \setminus A)\cup A=\Omega

█████

(\Omega \setminus A)\cap A=\emptyset

. ████████ nach █████ (█):

P(\Omega \setminus A)+P(A)=P(\Omega )

und dann nach █████ (█):

P(\Omega \setminus A)+P(A)=1

. ██████████ ██████ sich:

P(\Omega \setminus A)=1-P(A)

█. Daraus █████, dass das ██████████ ████████, die █████ █████, die ██████████████████ ████ hat: $P(\emptyset )=0$ .

██████: Es ist

\emptyset \cup \Omega =\Omega

und

\emptyset \cap \Omega =\emptyset

, also nach █████ (█):

P(\emptyset )+P(\Omega )=P(\Omega )

. ███████ █████

P(\emptyset )=0

█. ███ die ███████████ nicht █████████ ██████████ ██████████ █████: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ .

██████: Die ███ den ██████ ██████████████ ██████ sind im ██████ ████ ███████████. Die █████

A\cup B

kann danach als ███████████ von ████ ██████████ ██████ ███████████ werden:

███████ █████ nach (█):

P(A\cup B)=P(A\setminus B)+P(A\cap B)+P(B\setminus A)

████████████ ist nach (█) ██████

P(A)=P(A\setminus B)+P(A\cap B)

als auch

P(B)=P(A\cap B)+P(B\setminus A)

████████ ███████:

P(A)+P(B)=P(A\setminus B)+P(A\cap B)+P(A\cap B)+P(B\setminus A)=P(A\cup B)+P(A\cap B)

█████████ ██████

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)

Die ██████████ von ████████-█████████ ███████████████ █████ ██████████ im █████ n █████████████ (nicht █████████ ██████████) ██████████.

Im ████████ ist zwischen ███████████ und ███████████████ ██████████████ zu █████████████.

██████████ █████████████

Bei einer ███████████ █████████████ kann █████ █████████████████ eine ████████ ██████████████████ ██████████ werden. ████ $\Omega$ endlich oder █████████ █████████ ist, kann ███ ███ die █-███████ $\Sigma$ die ███████████ von $\Omega$ ██████. Die █████ der ████████████████████ aller ███████████████████ aus $\Omega$ ist ████ █.

██████████████ █████████████

Ein ████████ einer ███████████████ █████████████ ist die █████ der ███████ ██████. In ██████ ████████ ist es nicht ███████, allen ██████████ der ███████ ██████ ████████ eine ██████████████████ ██████████. Als ██████████████ █████ ███ █████ der ███████████ der ███████ ██████ ████ █████ die █████████ █-███████, das ist die ████████ █-███████, die alle ██████████ von ███████ ██████ als ████████ ███████. Die ████████ ██████ █-███████ █████ ███ █████████ ██████ oder auch (█████-)███████. ████ die ██████████████████ $P(A)$ █████ ██████████ █████ $A$ als ████████

P(A)=\int _{A}f(x)\,\mathrm {d} x

████ eine █████████████████████████ $f$ ███████████ werden kann, wird $P$ ███████ ██████ ███████. In ██████ ████ (aber nicht ███ in ██████) haben alle ███████████████████ {x} die ██████████████████ █. Die █████████████████████████ eines ███████ ████████ ████████████████████████ $P$ ist ███ ████ ███████ █████████ ████████, d. █., ███ kann auf einer ██████████ ████████-█████████, also einer █████ vom ████████-███ █, ██████████ werden, ohne dass $P$ █████████ wird. ████ die █████ █████████ der ███████████████████ von $P$ █████████, so ist ███ eine █████████████████████████ von P. Die █████ der █████████████████████████ werden ██████ nicht als ████████████████████ █████████████.

█████████ █████████████ im ████ █████████ ████████████████████████

███████-███████████

████ ███ ███████, dass ███ endlich █████ ███████████████████ ███████ und alle ████████████████ sind, d. █. mit der ████████ ██████████████████ █████████ (wie zum ████████ beim ██████ einer ███████ █████, █████ {████} und {████} ███████ die ██████████████████ █,█ ████████), so ███████ ███ von einem ███████-██████████. Dann ██████ sich ████████████████████ ███████ █████████: ███ ██████ eine ████████ █████████████ $\Omega$ an, die die ███████████ $|\Omega |=n$ ███████, d. █., ███ hat $n$ ████████. Dann ist die ██████████████████ █████ ████████████████████ ███████ $P={\tfrac {1}{n}}$ .

██████: ████

|\Omega |=n

ist, dann ████ es

n

███████████████████

E_{1},\ldots ,E_{n}

. Es ist dann ██████████

\Omega =E_{1}\cup \cdots \cup E_{n}

und ████████████ sind je ████ ███████████████████ ████████ (████████████: ████ das eine ████████, kann das ██████ nicht █████████). Also sind die ███████████████ ███ █████ (█) ███████, und es ████:

P(E_{1})+\cdots +P(E_{n})=P(\Omega )=1.

Da ███ ████████████

P(E_{1})=\cdots =P(E_{n})=P

sein ████, ist

n\cdot P=1

und daher ██████████:

P={\tfrac {1}{n}}

, wie █████████.

Als ██████████ █████, dass ███ ██████████, die sich aus ████████ ████████████████████ ██████████████, die ████████████ █████████ ██████████████████ ████. Ist $A$ ein ████████ der ███████████ $|A|=m$ , so ist $A$ die ███████████ von $m$ ████████████████████. █████ davon hat die ██████████████████ $P={\tfrac {1}{n}}$ , also ist $P(A)=m\cdot {\tfrac {1}{n}}={\tfrac {m}{n}}$ . ███ ██████ █████ den █████████ ████████████

P(A)={\frac {|A|}{|\Omega |}}.

Bei ███████-█████████ ist die ██████████████████ eines ███████████ also ██████ der ████ der ███ ██████ ████████ █████████ ██████████, █████████ durch die ████ der █████████ █████████ ██████████.

███████████ ein ████████ beim ███████ mit einem ███████ ██████.

\Omega =\{

⚀,⚁,⚂,⚃,⚄,⚅

\}

H=\{

⚄,⚅

\}

P(H)={\frac {|H|}{|\Omega |}}={\frac {2}{6}}={\frac {1}{3}}

Das ████████ $█$ = ████ █████████ (█ oder █) hat die ██████████████████ █/█.

Ein █████████ ███████-███████ ist auch das ██████ einer █████ aus einem █████ mit $n$ ██████ oder das ██████ einer █████ aus einer ████ mit $n$ ██████. ████ hat █████ █████████████████ die ███████ ██████████████████. Um die ██████ der ███████████████████ bei ███████-█████████ zu █████████, werden ██████ ████████ der ████████████ █████████.

Das ███████ der ███████-███████████ █████ sich auf den ████ einer ████████ ████████████████ ███████████████.

████████ ██████████████████

Unter einer █████████ ██████████████████ ████████ ███ die ██████████████████ ███ das █████████ eines ███████████ $A$ unter der █████████████, dass das █████████ eines ███████ ███████████ $B$ bereits ███████ ist. █████████ ████ $B$ █████████ ██████, es darf also nicht das ██████████ ████████ sein. ███ ████████ dann $P(A|B)$ oder ████████ $P_{B}(A)$ ███ „██████████████████ von $A$ unter der █████████████ $B$ “, ████ „ $P$ von $A$ , █████████████ $B$ “.

████████: Die ██████████████████, aus einem █████████ eine ████-█████ zu ██████ (████████ $A$ ), ███████ █/█, denn es ████ ██ ██████ und darunter █ ████-██████. Dann ist $P({\text{Herz}})={\tfrac {8}{32}}={\tfrac {1}{4}}$ . Das █████████████ ist dann ████, ███ oder █████ und hat deshalb die ██████████████████ ${\tfrac {24}{32}}={\tfrac {3}{4}}$ .

█████████████ beim ██████ einer █████ aus einem █████████

████ ███ aber bereits das ████████ $B$ „Die █████ ist ███“ ███████████ ist (es wurde eine ████- oder ████-█████ ███████, es ist aber nicht ███████, welche der beiden ██████), ███ also ███ ████ die ███████ unter den ██ █████ ██████ hat, dann ist $P(A|B)={\tfrac {8}{16}}={\tfrac {1}{2}}$ die ██████████████████, dass es sich dann um das ████-█████ ███████.

█████ ██████████ ████ ███ einen ██████████████. ███ den ███████████ ████ █████████ ███ die ████████ ██████████████████ von „ $A$ , █████████████ $B$ “ als

P(A\vert B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}.

Dass █████ ██████████ ████████ ist, █████ sich daran, dass die so ██████████ ██████████████████ den ███████ von ██████████ ██████, ████ ███ sich auf $B$ als ████ █████████████ ██████████; d. █., dass ████:

$0\leq P(A\vert B)\leq 1$
$P(B\vert B)=1$
████ $A_{1},\ldots ,A_{k}$ █████████ ████████ sind, so ist $P(A_{1}\cup \cdots \cup A_{k}\vert B)=P(A_{1}\vert B)+\cdots +P(A_{k}\vert B)$

██████:

$P(A\vert B)$ ist ████████ ██████ ████████████████████, ███ welche nach █████ (█) ████ $P(A\cap B)\geq 0$ und $P(B)\geq 0$ . Da $B$ nicht das ██████████ ████████ sein ████, ist █████ $P(B)>0$ . Also ████ auch ███ den ██████████ $P(A\vert B)\geq 0$ . ██████ sind $A\cap B$ und $B\setminus A$ ████████, und ████ ███████████ ist $B$ . Also ist nach █████ (█): $P(A\cap B)=P(B)-P(B\setminus A)$ .Da $P(B\setminus A)\geq 0$ ist, █████ $P(A\cap B)\leq P(B)$ und daher $P(A\vert B)\leq 1$ .
Es ist $P(B\vert B)={\frac {P(B\cap B)}{P(B)}}={\frac {P(B)}{P(B)}}=1.$
Des ████████ ██████ sich:

{\begin{aligned}P(A_{1}\cup \cdots \cup A_{k}\vert B)&={\frac {P((A_{1}\cup \cdots \cup A_{k})\cap B)}{P(B)}}\\&={\frac {P((A_{1}\cap B)\cup \cdots \cup (A_{k}\cap B))}{P(B)}}\\&={\frac {P(A_{1}\cap B)+\cdots +P(A_{k}\cap B)}{P(B)}}\\&={\frac {P(A_{1}\cap B)}{P(B)}}+\cdots +{\frac {P(A_{k}\cap B)}{P(B)}}\\\\&=P(A_{1}\vert B)+\cdots +P(A_{k}\vert B).\end{aligned}}

████ war zu ██████.

████████: Es sei wie oben $A$ das ████████ „██████ einer ████-█████“ und $B$ das ████████ „Es ist eine ████ █████“. Dann ist:

P(A\cap B)={\frac {8}{32}}={\frac {1}{4}}

und

P(B)={\frac {16}{32}}={\frac {1}{2}}.

████████ ████:

P(A\vert B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}={\frac {\frac {1}{4}}{\frac {1}{2}}}={\frac {1}{2}}.

Aus der ██████████ der █████████ ██████████████████ ███████ sich ████████ ████████████:

█████████████████████████ (█████████████ von ███████████)

Das █████████████ █████████ ██████ ██████████ $A$ und $B$ ██████████ █████████████████ dem █████████ des ███████-███████████ $A\cap B$ . Die ██████████████████ ███████ █████████ sich zur ███████████ ██████████████████ oder █████████████████████████

P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\vert A)=P(B)\cdot P(A\vert B).

██████: Nach ██████████ der █████████ ██████████████████ ist ██████████

P(A\vert B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}

und ████████████ auch

P(B\vert A)={\frac {P(A\cap B)}{P(A)}}.

█████████ nach $P(A\cap B)$ ███████ dann ██████ die ██████████.

████████: Es wird eine █████ aus ██ ██████ ███████. $A$ sei das ████████: „Es ist ein █████“. $B$ sei das ████████: „Es ist eine ████-█████“. Dann ist $A\cap B$ das █████████████ █████████ von $A$ und $B$ , also das ████████: „Die ████████ █████ ist ein ████-█████“. ████████ ist $P(A)={\tfrac {4}{32}}={\tfrac {1}{8}}$ . ██████ ist $P(B|A)={\tfrac {1}{4}}$ , denn es ████ ███ eine ████-█████ unter den ████ ███████. Und in der ███ ist dann $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\vert A)={\tfrac {1}{8}}\cdot {\tfrac {1}{4}}={\tfrac {1}{32}}$ die ██████████████████ ███ den ████-█████.

████ von █████

Die ████████ ██████████████████ von $A$ unter der █████████ $B$ █████ sich durch die ████████ ██████████████████ von $B$ unter der █████████ $A$ durch

P(A\mid B)={\frac {P(B\mid A)\cdot P(A)}{P(B)}}

██████████, ████ ███ die ███████ ████████████████████ $P(B)$ und $P(A)$ █████ (████ von █████).

████████████ und ██████████████ von ███████████

██████████ █████ ███ ██████████ ███████████, ████ das █████████ des einen die ██████████████████ des ███████ nicht ███████████. Im ███████████ ████ █████ ███ ███ ████████. ███ █████████:

████ ██████████

A

und

B

sind ██████████, ████

P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)

████.

███████, aber ██████████ ██████████: Bei ████████████ ███████████ kann ███ die ████████████████████ ██████████████.

Dass ████ dem ███████ „██████████████“ ███████ wird, ███████ ███ durch █████████ nach $P(A)$ :

P(A)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}=P(A\vert B).

Das ████████: Die ██████ ██████████████████ ███ $A$ ist ebenso ████ wie die ██████████████████ ███ $A$ , █████████████ $B$ ; das █████████ von $B$ ███████████ also die ██████████████████ von $A$ nicht.

████████: Es wird eine aus ██ ██████ ███████. $A$ sei das ████████ „Es ist eine ████-█████“. $B$ sei das ████████ „Es ist eine ████-█████“. █████ ██████████ sind ██████████, denn das ██████, dass ███ eine ████-█████ █████, ███████████ nicht die ██████████████████, dass es eine ████-█████ ist (Der ██████ der ████-██████ unter den ██████-██████ ist ebenso ████ wie der ██████ der ████-██████ an allen ██████). ████████ ist $P(A)={\tfrac {8}{32}}={\tfrac {1}{4}}$ und $P(B)={\tfrac {12}{32}}={\tfrac {3}{8}}$ . $A\cap B$ ist das ████████ „Es ist eine ████-█████████“. Da es davon ████ ████, ist $P(A\cap B)={\tfrac {3}{32}}$ . Und in der ███ ██████ ███ ████, dass ${\tfrac {1}{4}}\cdot {\tfrac {3}{8}}={\tfrac {3}{32}}$ ist.

Ein ████████ ████████ ███ ████ ██████ und ████ █████ ████████████████████ ██████ sich in ████████-██████-███████.

███████████████ ██████████

Die ██████████ ███████████████████████████ ██████████ ███ ████████████████████ auf █████████ █████████████████████████ und ███████ ███████ mit ████████████████. █████ beiden ███████ ██████ sich durch die ███████ ████████████ der ██████████████████████████, die auf den █████████ und ███████████ der ███- und ███████████████████ ██████, ████████████████ und ███████████████.

████████████████████████

In ██████ ██████████ ist ein ███████████████████████ $(\Omega ,\Sigma ,P)$ ein ███████ mit einem ██████████████████████ $P$ . Das ████████, die █████████████ $\Omega$ ist eine █████████ █████, der ████████████ $\Sigma$ ist eine █-███████ mit ██████████ $\Omega$ und $P\colon \Sigma \to [0,1]$ ist ein ███, das durch $P(\Omega )=1$ ████████ ist.

████████ █████████████ von █████████████████████████ sind:

$\Omega$ ist eine ██████████ █████ und $\Sigma$ ist die ███████████ von $\Omega$ . Dann ist █████ ██████████████████████ $P$ █████████ ██████████ durch █████ █████ $P(\{\omega \})$ auf den ██████████████ ██████████ von $\Omega$ und ███ alle $A\in \Sigma$ ████

P(A)=\sum _{\omega \in A}P(\{\omega \})

$\Omega$ ist eine █████████ von $\mathbb {R} ^{n}$ und $\Sigma$ ist die █████████ █-███████ auf $\Omega$ . Ist das ██████████████████████ $P$ ███████ ██████ █████████ des ████████-█████, dann ███████ $P$ nach dem ████ von █████-███████ eine ████████-██████ $f$ , d. █., ███ alle $A\in \Sigma$ ████

P(A)=\int _{A}f(x)\,\mathrm {d} x

█████████ wird ███ eine █████████████ ████████ ████████

f

, welche die ████████████████████

\textstyle \int _{\Omega }f(x)\,dx=1

███████, durch █████ ██████ ein ██████████████████████ auf

\Omega

█████████.

$\textstyle \Omega =\prod _{i\in I}\Omega _{i}$ ist ein ████████████ ███████ und $\textstyle \Sigma =\bigotimes _{i\in I}\Sigma _{i}$ ist die ███████-█-███████ von █-████████ $\Sigma _{i}$ auf $\Omega _{i}$ . Sind ███████████████████████ $P_{i}$ auf $\Omega _{i}$ ███████, dann wird durch das ██████████ $\textstyle P=\bigotimes _{i\in I}P_{i}$ ein ██████████████████████ auf $\Omega$ █████████, das die ███████████ ████████████████████████ der █████████████████ $(\Omega _{i},\Sigma _{i},P_{i})_{i\in I}$ ██████████.

███████████████

Eine ███████████████ ist das █████████████ ███████ ███ eine █████, deren ████ vom ██████ ████████ ist. Aus ████████████████ █████ ███████ es sich um eine ████████ ████████ $X$ auf einem ███████████████████████ $(\Omega ,\Sigma ,P)$ in einen ████████ $(\Omega ',\Sigma ')$ █████████ aus einer █████ $\Omega '$ und einer █-███████ $\Sigma '$ auf $\Omega '$ . ███████████ ████████ dabei, dass ███ alle $A'\in \Sigma '$ das ██████ $X^{-1}(A')$ ein ███████ der █-███████ $\Sigma$ ist. Die ██████████ von $X$ ist dann ██████ ███████ als das ███████

P_{X}:=P\circ X^{-1}:\Sigma '\to [0,1],\quad P\circ X^{-1}(A')=P(X^{-1}(A'))

das von $X$ auf dem ████████ $(\Omega ',\Sigma ')$ █████████ wird und ██████ zu einem ███████████████████████ $(\Omega ',\Sigma ',P_{X})$ █████.

Der ██████████████ einer █████████████ ███████████████ $X$ ███████ die █████████ ██████████. Er █████ sich ████████ ██████████ als ████████ von $X$ █████████ des ████████████████████████ $P$ :

\operatorname {E} (X)=\int _{\Omega }X\,\mathrm {d} P

██████████████████████████ und █████████

██████████████████████████ und █████████████ █████████ werden ███████████████ auch als ██████████ ██████████. Beide ███████ ██████ in █████ ███████████████ █████████:

████████████ ████████████ werden ██████████ unter der ███████ ██████████, dass ███ das ████████ ██████████ ████████ sind.
████████████ █████████ ██████ auf ██████████ █████ █████████████ ███ das █████████ von ███████████████████████████████ ███████.

█████████████████

Die ██████████████████████████ ████████ aus dem ███████ der █████████ ██████████ des █████████ bei █████████████ █████████████. Auch ██████ █████ ███████████ ███████ aus dem ███████ des ████████████.

█████ ist die ██████████████████████████ eine █████████ der █████████. Die ██████████ █████████ █████ ██████████ der ██████████████████████████, um █████████████████ zu ███████████ oder ████████████████████ zu █████████.

█████ ████████ der ██████ wie die █████████████ und die ███████████████ ██████ die ██████████████████████████ zur █████████████ ████████████ █████ █████████.

███ ist ██████ die █████████ ███ █████████████ ███████████ wie die ███████████████████████, die ██████████████████ und die █████████████████████ und das ████████ zur ███████ in ██████ █████████.

Auch in der ███████████████ ist die ██████████████████████████ von █████████ █████████.