█████ (██████████)

████████ auf einem █████████████ ████

Eine ████████ ${\displaystyle \mathcal{F}}$ auf einem █████████████ ████ ${\displaystyle X}$ ██████ █████ ███████ █████████ ${\displaystyle U\subseteq X}$ eine █████ (███. eine ████████ ██████, einen █████, einen ████) ${\displaystyle \mathcal{F}(U)}$ ████████ mit █████████████████████████ ${\displaystyle {\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}_V^U:\mathcal{F}(U)\to \mathcal{F}(V)}$ ███ alle ███████████ ███████ ██████████ ${\displaystyle V\subseteq U}$ zu. Dabei ██████ die █████████████████████████ (im █████ von █████████ ███████, ██████ oder ██████ █████████████ ██████████████ sein und) in der „████████████████“ █████ ██████████████:

• ${\displaystyle {\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}_U^U={\mathrm{i}\mathrm{d}}_{\mathcal{F}(U)}}$
• ${\displaystyle {\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}_W^V\circ {\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}_V^U={\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}_W^U}$ ███ ██████ ██████████ ${\displaystyle W\subseteq V\subseteq U}$.

Die ████████ von ${\displaystyle \mathcal{F}(U)}$ ██████ (██████) ████████ von ${\displaystyle \mathcal{F}}$ ████ ${\displaystyle U}$, die ████████ von ${\displaystyle \mathcal{F}(X)}$ ███████ ████████. █████ ${\displaystyle \mathcal{F}(U)}$ ████████ ███ auch ${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}(U,\mathcal{F}).}$

███ die █████████████ ${\displaystyle {\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}_V^U(f)}$ eines █████████ ${\displaystyle f\in \mathcal{F}(U)}$ auf eine ██████ █████████ ${\displaystyle V\subseteq U}$ ████████ ███ auch ${\displaystyle f{|}_V}$.

█████ auf einem █████████████ ████

Eine █████ ist eine ████████, bei der die █████ „█████“ sind, d. █. die █████████ beiden ███████████ ███████ sind:

• ██████ ███████████████ ██████████ ███████ ███████████████: Sind ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle g}$ ████████ von ${\displaystyle \mathcal{F}}$ ████ ${\displaystyle U}$ und ${\displaystyle \{V_i\}}$ eine ██████ ███████████ von ${\displaystyle U}$, und ████

${\displaystyle f{|}_{V_i}=g{|}_{V_i}}$

███ alle ${\displaystyle i}$, so ████ ${\displaystyle f=g}$.

• ████████████████ ██████ █████ ██████ sich „█████████“: Sind ████████ ${\displaystyle f_i\in \mathcal{F}(V_i)}$ ███████, so dass die ███████████████ von ${\displaystyle f_i}$ und ${\displaystyle f_j}$ auf ${\displaystyle V_i\cap V_j}$ ██████████████, so ████ es einen ███████ ${\displaystyle f\in \mathcal{F}(U)}$, so dass

${\displaystyle f_i=f{|}_{V_i}}$

███ alle ${\displaystyle i}$ ████.

Aus der ██████ █████████ █████, dass ${\displaystyle f}$ in der ███████ █████████ durch die ${\displaystyle f_i}$ █████████ ████████ ist.

██████████████████████ ██████████ einer █████ auf einem █████████████ ████

Es sei ${\displaystyle X}$ ein █████████████ ████. Die █████████ ${\displaystyle \mathbf{O}\mathbf{u}\mathbf{v}(X)}$ ████ als ███████ die ███████ ██████████ von ${\displaystyle X}$ mit einem ██████████ ${\displaystyle U\to V}$ ███ ████ █████████ ${\displaystyle U\subseteq V}$ ███████ ██████. Eine ████████ ${\displaystyle \mathcal{F}}$ auf ${\displaystyle X}$ mit ██████ in einer █████████ ${\displaystyle C}$ ist ein ███████████████ ███████ ${\displaystyle \mathcal{F}:\mathbf{O}\mathbf{u}\mathbf{v}(X)\to C}$. ${\displaystyle C}$ ███████ ████████.

Eine ████████ ${\displaystyle \mathcal{F}}$ █████ █████, █████ das ████████ ████████ ███ ████ ██████ █████████ ${\displaystyle U\subseteq X}$ und ████ ███████████ ${\displaystyle \{V_i\}}$ von ${\displaystyle U}$ █████ ist:

${\displaystyle \mathcal{F}(U)\to \prod \mathcal{F}(V_i)\rightrightarrows \prod \mathcal{F}(V_i\cap V_j),}$

d. █., dass ${\displaystyle \mathcal{F}(U)}$ der █████████████ der beiden ███████ ██████ ist, die sich wie █████ ████████. Zu █████ █████████ ${\displaystyle (i,j)}$ hat ███ ████ ███████████ ${\displaystyle {\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}_{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}^{(i,j)}:V_i\cap V_j\to V_i}$ und ${\displaystyle {\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}_{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}^{(i,j)}:V_i\cap V_j\to V_j}$. Einer der ██████ ist das ███████ der ${\displaystyle \mathcal{F}({\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}_{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}^{(i,j)}):\mathcal{F}(V_i)\to \mathcal{F}(V_i\cap V_j)}$, der ██████ das ███████ der ${\displaystyle \mathcal{F}({\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}_{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}^{(i,j)})}$.