████████ de ███████████

L'████████ de ███████████, ██████ par le █████████ ██████████ █████ ███████████ en ████, est une ████████ ████████████ en █████████ █████████. Elle ██████ l'█████████ dans le █████ d'une █████████ ███████ ███ ███████████, et ███████ █████ le ████ ████ que la ████████ ████████████ de la █████████ en █████████ █████████.

█████████ de l'████████

████████ ██████████

Au █████ du ██^█ ██████, il █████ ██████ █████ que la ███████ ██████████ une ███████ ████-██████████, c'est-à-████ qu'elle ███████ se ██████████, █████ les █████████████, ████ █████ une █████████, le ██████, ████ █████ une ████ █████████████████. █████ de ███████ ███████ de ███████████ cette ███████ à ██████ les ██████████ ███████. L'█████████ de de ███████ ███ pour ███████████ a ██████ ██████████ la ██████████ d'█████████████ par les █████████ — à l'██████ de la ███████ — ce qui fut ███████ ██████████████ par l'██████████ de ████████-██████. Par ████████ avec le ██████, █████ de ███████ ███████ █████ à ██████ █████████ █████ d'███████ $█$ et de ████████ de █████████ $█$ une █████████ $\nu$ et une ████████ d'████ $\lambda$ : $\left\{{\begin{matrix}E=h\nu \\p={\frac {h}{\lambda }}\end{matrix}}\right.$

Dans les ████ ███████████ ██-██████, la ██████ $█$ ███████ la █████████ de ██████. L'████████ de ███████████, ███████ par le █████████ █████ ███████████ en ████, est une ████████ d'████ dont l'████████ $\psi$ est ███████ la ████████ d'████, ce qui ██████████ l'████████ de █████ de ███████ ██-██████ aux ██████████ ████████ ███ ████████████ ████████ à une █████ ████████ d'un █████████ $V(t,{\vec {r}})$ , dont l'███████ █████████ ██████ est █████████████ : $E={p^{2} \over 2m}+V(t,{\vec {r}}).$ Le ██████ de l'████████, ███████ de cette █████████ par ███████████ du ████████ de ██████████████, fut ████████ █████ à l'██████████ des ███████ ██████████ d'███████ de l'████████ dans l'█████ d'█████████, ███ elle ██████ d'█████████ les █████ d'████████ de l'█████████ : ██████ de █████, ██████, ████████, ███████, ███.

L'██████████████ ████████ ███████████ ██████ de la ████████ d'████ de ███████████ fut ██████ dès ████ par ███ ████. En ██████ du █████████ ████████████ qu'elle ████████████, la █████████ ███████████ de ███████████ ███████ ████████████ de la ████████ ████ ████████ ██████████ de █████ █████ ██████ ████████, pour qui « ████ ne ████ pas aux dés ».

La ████████ ██████████

L'████████ de ███████████ a d'█████ ███ ████████ sous la █████ ████████ :

${\rm {i}}\hbar {\frac {\partial \Psi (t,{\vec {r}})}{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta \Psi (t,{\vec {r}})+V({\vec {r}})\Psi (t,{\vec {r}})$

Le ██████ ██████████ ███████ par ███████████ pour ███████ son ████████ ██████ sur une ████████ ████████ entre l'███████ et la █████████.

En ███████ ████████, l'████████ de ███████████ dans un ██████ ███████████ d'██████ ████ $n$ ███████ █████████ à l'███████ de la ████████ d'████ ███████ — ██████'on ███████ une ████████ ███████████████ dont l'█████████ █████ ████ █████████ ██████ la █████ — à une ████████ █████████ ████ de l'████████. C'est l'█████████████ de l'███████ ███████████, à ████████ est ███████ le ████████ ████████████ de ██████.

Dans la ███████████ █████████████ de la █████████ █████████, il ██████ une ████████ ████ de ████████-██████. Pour une █████████ ███████ ███ ███████████ ███████ à une █████ ████████ d'une ███████ ███████████, l'███████ █████████ ██████ est █████████ et l'████████ de ████████-██████ pour la « ████████ ███████████████ de ████████ » █████████ █████ ████████████ à l'████████ ████████ (le ████████ ████████████ ███████ █████ le ████████ de ███████ ██████).

Ce █████████ █████ ███ ████ dès ████ par ████████, mais █████-██ n'█████ █████ pas de ██████ de ██████ de la ████████ de la █████████ █████████. █████ l'█████████ de de ███████ de ████, ███████████ s'est ███ : l'████████ de l'████████ █████ une █████████████ de l'████████ d'████ de l'███████ ████████, █████████ l'████████ d'████ de la « █████████ ███████████ » (à ██████████) dont l'█████████████ ████ l'████████ de ████████-██████. Ce qu'il a ████, d'█████ pour une ████ ████████████ (█ = █████████), ████ pour une ████ ██████████.

████████ : ███████████ █████ en ████ ████████ par ███████ le ███ d'une █████████ ███████████ — █████ d'████████ de ███████ █████ lui. Il a █████ ██████ l'████████ ██████ ███████'███ sous le ███ de ████████ de █████-██████, mais son ███████████ au ███ du █████████ ██████████ ███████ des ███████ d'███████ █████████████ avec les █████████ █████████████ de l'█████ d'█████████, il se ██████ ███████ sur le ███ ███ ███████████, avec le ██████ que l'on ███████.

█████████████ ███████████

Une ████ ██████ le █████████ entre l'███████ et la █████████ █████████████ — c’est-à-████ la ██████ ███ ████████ du ████████████ —, la ███ de la ██████████ est ████████████ ███████████. En █████, l'████████ d'████ ██████████ par l'█████████ ████████ d'une ████ ███████████████ de █████████ $\omega$ █████ dans un ██████ d'██████ n █████████ ████████ s'█████ :

$\left(\Delta \ +\ {\frac {n^{2}\,\omega ^{2}}{c^{2}}}\right)\ \psi ({\vec {r}})\ =\ 0$

On █████████ le ██████ d'████ █ dans le ██████ d'██████ n, ███ que :

$k^{2}\ =\ {\frac {n^{2}\,\omega ^{2}}{c^{2}}}$

On ███████ █████ l'████████ de █████████ :

$(\Delta \ +\ k^{2})\ \psi ({\vec {r}})\ =\ 0$

La ████████ d'████ dans le ██████ est ███████ par $\lambda =2\pi /k$ . L'████████ de █████████ se ███████ :

$\left(\,\Delta \ +\ {\frac {4\pi ^{2}}{\lambda ^{2}}}\,\right)\ \psi ({\vec {r}})\ =\ 0$

On ███████ █████ la ████████ de de ███████ pour une █████████ ███ ███████████, pour ████████ la ████████ de █████████ █ = m █ :

$\lambda \ =\ {\frac {h}{mv}}\quad \Longrightarrow \quad {\frac {1}{\lambda ^{2}}}\ =\ {\frac {m^{2}\,v^{2}}{h^{2}}}$

██, l'███████ █████████ s'█████ pour une █████████ ███ ███████████ :

${\frac {1}{2}}\,m\,v^{2}\ =\ E\ -\ V({\vec {r}})$

d'où l'████████ de ███████████ ████████████ :

$\left[\,\Delta \ +\ {\frac {8\pi ^{2}m}{h^{2}}}\,\left(\,E\ -\ V({\vec {r}})\,\right)\ \right]\ \psi ({\vec {r}})\ =\ 0$

En ████████████ le ███████ d'██████ $\hbar =h/2\pi$ , on la ███ sous la █████ ██████████ :

$-\ {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\,\Delta \psi ({\vec {r}})\ +\ V({\vec {r}})\,\psi ({\vec {r}})\ =\ E\,\psi ({\vec {r}})$

Il ne █████ plus qu'à ████████████ le █████ t en ███████████ la ██████████ ██████████ pour une ████ ███████████████, ████ en █████████ la ████████ de ██████-████████ $E=\hbar \omega$ :

$\psi ({\vec {r}},t)\ =\ \psi ({\vec {r}})\ \mathrm {e} ^{-\,{\rm {i}}\,\omega \,t}\ =\ \psi ({\vec {r}})\ \exp \left(-\,{\frac {{\rm {i}}\,E\,t}{\hbar }}\right)$

On ███████ ██████████ l'████████ de ███████████ ████████ :

$-\ {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\,\Delta \psi ({\vec {r}},t)\ +\ V({\vec {r}})\,\psi ({\vec {r}},t)\ =\ {\rm {i}}\,\hbar \ {\frac {\partial \psi ({\vec {r}},t)}{\partial t}}$

███████████ ███████

En █████████ █████████, l'████ à l'███████ t d'un ███████ est ██████ par un ███████ $|\Psi (t)\rangle$ de l'██████ ████████ de ███████ — avec l’███████████ de la ████████ ███-███ de ████ █████. Le █████ du ██████ de $|\Psi (t)\rangle$ ██████████ les ████████ de ████████████ de █████████ de ██████ les ███████ █████████ d'un ███████.

L'█████████ ██████████ de $|\Psi (t)\rangle$ est ███████ par l'████████ de ███████████ : ${\rm {i}}\hbar {{\textrm {d}} \over {\textrm {d}}t}|\Psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\Psi (t)\rangle$ où :

${\rm {i}}$ est l'█████ ██████████ : ${\rm {i}}^{2}=-1$ ;
$\hbar \,$ est la █████████ de ██████ ███████ (█████████ de █████) : $\hbar ={\frac {h}{2\pi }}$ où $█$ est la █████████ de ██████. $█$ = █,███ ███ ██ × ██^−██ ██ m^█ s^−█ ;
${\hat {H}}$ est l'███████████, █████████ du █████ en ███████, l'██████████ █████████████ ██████████████ à l'███████ ██████ du ███████.