███████ de ███

En █████████████, une ███████ de ███, ██████ en l'███████ du █████████████ ██████ ███, est un ██████ █████████ qui est ████ d'un ███████ de ███, c'est-à-████ d'une ███ de ███████████ ███████ ██████████, ████████, et qui ███████ la ████████ de ██████. Une ███████ de ███ est un ███ ███████████ d'███████ sur un █████.

███████████, ████████ et █████████ ██████████

██████████

████ █ un █████ ██████████.

Une ███████ de ███ sur █ est un ██████ █████████ ${\mathfrak {g}}$ sur █ ████ d'une ███████████ ██████████ $(x,y)\mapsto [x,y]$ de ${\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}$ dans ${\mathfrak {g}}$ qui ███████ les ██████████ █████████ :

$\forall x\in {\mathfrak {g}},\ [x,x]=0$ ;
$\forall x,y,z\in {\mathfrak {g}},\ [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0.$

Le ███████ $[x,y]$ est ██████ ███████ de ███ (ou ██████████ ███████) de $█$ et $y$ . ███████ le ███████ est une ████████ ██████████ ████████ de $█, y$ , il est █████ ██████████████ : $[x,y]=-[y,x]$ pour ████ $█, y$ dans ${\mathfrak {g}}$ . L'████████ (█) ██-██████ est ███████ l'████████ de ██████.

Une sous-███████ de ███ de ${\mathfrak {g}}$ est un sous-██████ █████████ de ${\mathfrak {g}}$ ██████ pour le ███████ de ███. █████ sous-███████ de ███ de ${\mathfrak {g}}$ est █████ de ███████ ████████ d'une █████████ d'███████ de ███ sur █.

████████ : █████████████ aux ████████ ████████████ (et aux ████████ de ████████, dont les ████████ ███████████), les ████████ de ███ ne sont ni █████████, ni ████████████.

████████ ████████ ██████████ d'████████ de ███

████ ██████ █████████ $█$ peut ████ ████ d'une █████████ d'███████ de ███ en ██████, $\forall x,y\in E,\ [x,y]=0$ . Une █████ ███████ de ███, où le ███████ de ███ est █████████████ ███, est ███████ █████████.
À ██████ d'une ███████ ███████████ sur un █████ $(A,*)$ , on peut ██████████ une ███████ de ███ de la █████ ████████ : on ████ $\forall x,y\in A,\ [x,y]=x*y-y*x$ (c'est le ███████████ des ████ ████████ █ et y). Il est ██████ de ████████ que l'on ███████ █████ sur $A$ une █████████ d'███████ de ███.
███████████, █████ ███████ de ███ ${\mathfrak {g}}$ est ████████ dans une ███████ ███████████, ███████ ███████ ████████████, dans ████████ le ███████ de ███ ████████ avec le ███████ ██████ ██-██████. Si ${\mathfrak {g}}$ est ███ █████████ (et ████ si son ███████ de ███ est ███ ███), son ███████ ████████████ est ████████ plus ██████ qu'elle-████.
█████ ███████ ███████ de la █████████ ██-██████, ███████████ ${\mathcal {M}}_{n}(K)$ , l'██████ des ████████ ███████ de ██████ n à ████████████ dans █. C'est une ███████ ███████████ pour le ███████ █████████ █████. On peut ████ █████████ lui ██████ une █████████ d'███████ de ███, avec le ███████ $[A,B]=AB-BA$ . On ████ ${\mathfrak {gl}}_{n}(K)$ cette ███████, ███████ l'on █████████ sa █████████ d'███████ de ███.
████ ██████████, ████ sous-██████ █████████ de ${\mathfrak {gl}}_{n}(K)$ ██████ par le ███████ est une ███████ de ███. █████, on peut ████████ que l'████████ des ████████ de █████ █████ est une ███████ de ███, que l'on ████ ${\mathfrak {sl}}_{n}(K)$ .
En ████, le ████████ d'███ ██████ que █████ ███████ de ███ de █████████ █████ n peut ████ ███ █████ une sous-███████ de ${\mathfrak {gl}}_{n}(K)$ .
Un █████ ███████ ███████████, plus ███████████, est le ███████. ████ $M$ une ███████ ██████████████. █████ l'██████ █████████ █████ par les ██████ de ████████ sur $M$ ███████ une █████████ █████████ d'███████ de ███, sans ████ une ███████.
En ███████████, l'████████ des ██████ de ███████ d'une ███████ ████████████ ou ██████-████████████ █████ une ███████ de ███, qui ██████████ au ██████ d'██████████ de la ███████ ██████████.
L'██████ █████████ ███████████████ █^█ avec le ███████ █████████ █████ ███████ de ███ est une ███████ de ███.

██████████ et ██████

Un █████████ d'████████ de ███ ${\mathfrak {g}}$ est une ███████████ ████████ $\phi$ qui ████████ le ███████ de ███, c'est-à-████ █████ que

\forall a,b\in {\mathfrak {g}},\ \phi ([a,b])=[\phi (a),\phi (b)]

Un █████ de ${\mathfrak {g}}$ est un sous-██████ █████████ ${\mathfrak {h}}$ ███ que $\forall g\in {\mathfrak {g}},\ \forall h\in {\mathfrak {h}},\ [g,h]\in {\mathfrak {h}}$ . C'est en ███████████ une sous-███████ de ███. Si une ███████ de ███ n'█████ pas d'█████ ███ ███████, elle est ████ ██████.

Si ${\mathfrak {h}}$ est un █████ de ${\mathfrak {g}}$ , on peut ██████ le ████████ de ${\mathfrak {g}}$ par ${\mathfrak {h}}$ : c'est l'██████ █████████ ████████ ${\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}$ , ████ du ███████ ██████ par $[g+{\mathfrak {h}},g'+{\mathfrak {h}}]=[g,g']+{\mathfrak {h}}$ . La ██████████ ${\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}$ est █████ un █████████ d'████████ de ███.

Une ██████████████ d'une ███████ de ███ ${\mathfrak {g}}$ est un █████████ $\phi \,:\,{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}_{n}(K)$ . █████████ ███, c'est une ███████████ ████████ █████ que $\phi ([g,h])=\phi (g)\phi (h)-\phi (h)\phi (g)$ .

Le █████████ ${\text{ad}}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl(g)}}$ ██████ par ${\text{ad}}(g)(h)=[g,h]$ ███████ une ██████████████ de ${\mathfrak {g}}$ , ███████ ██████████████ ████████. L'████████ de ██████ ███████ ███████████ le ████ que ██ ████████ le ███████. Le █████ de cette ██████████████ est le ██████ $Z({\mathfrak {g}})=\{g\in {\mathfrak {g}},\forall h\in {\mathfrak {g}},[g,h]=0\}$ de l'███████ de ███ ${\mathfrak {g}}$ .

████████ avec les ███████ de ███ et les ███████ ███████████

Les ████████ de ███ sont █████████████ █████████ aux ███████ de ███. Si $█$ est un ██████ de ███ et █ son ███████ ██████, █████ l'██████ ███████ en █ à $█$ est une ███████ de ███ ; la ████████████ ██████ de cette ███████ est █████████ dans la ███████ ██████████████ de l'███████ ██████ de ███. La ████ ████████████ est ███████ pour les ███████ ███████████. On ████ en ███████ en ███████ ███████ █████████ l'███████ de ███ ████████ à un ██████ de ███, ou à un ██████ ██████████. █████, █████ on l'a ████ ██, ${\mathfrak {gl_{n}}}$ ███████ l'████████ des ████████ ███████ de ██████ n et ${\mathfrak {sl}}_{n}$ ███████ l'████████ des ████████ ███████ de ██████ n de █████ █████. De la ████ █████, ${\mathfrak {so_{n}}}$ ███████ l'████████ des ████████ ███████ A de ██████ n ███████████████, ███. Dans ████ ces ████████, le ███████ de ███ n'est ████ d'█████ que le ███████████ : $[A,B]=AB-BA$ .

Si $\phi$ est un █████████ de ███████ entre ████ ███████ de ███ $█$ et $█$ , et si l'on ███████ $\phi$ ██████████████, █████ sa ██████████████ en l'████████ ████ un █████████ entre les ████████ de ███ ${\mathfrak {g}}$ et ${\mathfrak {h}}$ de $█$ et $█$ . En ███████████, à une ██████████████ de $█$ ██████████████, on ███████ une ██████████████ de ${\mathfrak {g}}$ .

La ██████████████ des ████████ de ███ est ████████ de █████ ████████ pour l'█████ des ███████ de ███, des ███████ ███████████ et de leurs ███████████████.