███████ ██ ███

██ ██████████, ██'███████ ██ ███, ██ ██████ ███, █ ██'███████ ██ █████ ██ ███ ████████ ████████ █████ █████████ ██████████. ██ ███████ ██ ███ ████ █████████ ██████████ █████ ██████████████ ███ ██ ██████ ██ ███████ ██████████-█████████ ████ █ ██████ ██ ███ █ ██ ███████ ███████████████.

██'███████ ██ ███ █ ███ ██████ ██████████ ${\displaystyle \mathfrak{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}$ ██ ██ █████ ${\displaystyle \mathbb{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}$ (███ ███████ █ ██████ █████, █ ██████ █████████, █ ██ █████ ██████) ███ ██ █████████ ███████ ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]:\mathfrak{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}\times \mathfrak{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}\to \mathfrak{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}$, █████ ████████ ██ ███, ███ ████████ ██ ████████ █████████:

1. █ █████████, ████ ${\displaystyle [\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}+\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>},\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}]=\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}[\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>},\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}]+\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}[\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>},\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}]}$ █ ${\displaystyle [\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>},\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}+\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}]=\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}[\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>},\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}]+\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}[\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>},\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}]}$ ███ ████ ${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>},\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>},\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}\in \mathfrak{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>},\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>},\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}\in \mathbb{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}$;
2. ████████ █'████████ ██ ██████, ████ ${\displaystyle [[\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>},\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}],\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}]+[[\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>},\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}],\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}]+[[\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>},\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}],\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}]=\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}$ ███ ████ ${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>},\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>},\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}\in \mathfrak{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}$;
3. █ ██████████, ████ ${\displaystyle [\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>},\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}]=\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}$ ███ ████ ${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}\in \mathfrak{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}$.

██████ ███ ██ █████ █ ██ █████ █████████ ███████ █████████ ${\displaystyle [\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>},\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}]=-[\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>},\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}]}$ ███ ████ ${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>},\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}\in \mathfrak{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}$, ████ █'█████████████ ███ ████████ ██ ███: █████████ █'█████████████ ███████ ██ █████████ █ ██ ${\displaystyle \mathbb{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}$ ██ ██████████████ ███████ ██ █. ██████ █████ ███ ██ ████████ ██ ████████ ██ ███ ███ █ ███████████, ████ ${\displaystyle [[\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>},\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}],\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}]\ne [\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>},[\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>},\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}]]}$.

• ██'███████ ██ ███ ██ ████ ████████ ██ ██ ████████ ██ ███ ████████ ██ ███████ █████ ███ █████ ███ █ █ █. ████ ██████ ██████████ ███████ ██████████ ██'███████ ██ ███ ████████ ██ ██ ██ ███████████ ███ ██ ████████ ██ ███ █████████████ █████.
• ██ ██████ ████████ ${\displaystyle {\mathbb{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}^{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}}$███████ ██'███████ ██ ███ █████████ ███ ████████ ██ ███ ███████ ███ ████████ ███████ (████████ ██████████) ███ ███████.
• ████████████ ██'███████ ███████████ █ ██ ███ ███████████████ █████████ ███ ${\displaystyle \cdot }$; ██████ ███ ██████ ███████████ ██ ██'███████ ██ ███ █████████ ${\displaystyle [\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>},\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}]=\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}\cdot \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}-\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}\cdot \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}$. ██████ ███████████ █ █████ ██ ███████████ ██ █ █ █. █████████ ██ ███ ██████████ ███ ████ ███████ ██ ███ ███ ██████ ███████████ ████ ████████████ ██ ██'█████ ████████ ██ ██████ ████ ██ ██'███████ ███████████.
• █████ ██████ ██████████ ██ ███████ ██ ███ ███████ █████ █████████ █████████████. ████████████ █ █████ ██████████ ██ ███ ███████ ███████████████ █, ████ ██ ██████████████ █ ███ █ ███ ████████ █ ██ █ █████████ ██'█████ ████████ █████ ██████ ██████, █ █, █ ███ █████████████ ███ ██████ ██████████ █ ████████ ██████████. ███ ███ ████ █████ ██████████ █ █ █ ██ ████████ ██ ███ [█, █] █ ████████ ██: [█, █] █ = (██ − ██) █ ███ ████ ████████ █ ██ █. ██ ███ ████ ██ ███████ █'███████ ██ ███ ███ ██████ ██ ███ ██ ████████ ██████████ ███ ██████████████ █████ ███████.
• ██ ██████ ██████████ ███ █████ ██████████ ████████-██████████ ██ ██ ██████ ██ ███ █ ██████ █████ ██████ ██████████ █ ██████ █ ██'███████ ██ ███ █ ██████████ ██████. ██ ███████████ ██ ███ ███████ ██ ██████ ██████████ ███████████ ███'███████ ██ ███ █████████ █ ██ ██████ ██ ███ ████ ██ ██████ ████████ ███'████████ ████████ ███ ██████. ██ ███████████████ █ ██ █████████████ ███ ██████ ███████████ (█,█) | → ███^−██^−█ ███'████████ ████████.
• ████ ███████ ████████ ████████████ ██ ██████ ██ ███ ██(█,█) ██ █████ ██ ███████ ████████ █×█ ███ ██████████ █████ █ ████████████ █. ██ ██████ ████████ ████ ███████ ████████ ██ ███ ███████████ █████ ██████ ██ █████ ██ ███████ █×█ ███ ███████ ████, █ ██ █████████ ████'███████ ██ ███ █████████ ███ ██████ ██ ███ ████████ ███ ██████ ███ █████ ███ ███████████ ███ ██ ███████████████ ██████████.

███ █████████ ██████ ███ ██████ ██ ███ █ ██ ███████ ██ ███ █████████, ██ ████ ██ ████ ███ ██████ ██ ███.

██ ███████████ █ : █ → █ ███ ███ ███████ ██ ███ █ ██ █ █████ ██████ █████ ████ █ ██ █████████ ████ ███ █████ █-███████ ████ ███ [█(█), █(█)] = █([█, █]) ███ █████ ███ █ █ █ ██ █. ██ ████████████ ██ ████ ███████████ █ ██████ ██ ███████████, █ ██ ███████ ██ ███ ███ █████ █, ███████ ███ ██████ ████████ ███████ ███ █████████. ██ ██ ████ ███████████ █ █████████ █████ ████████ ███████████, █ ██ ███ ███████ ██ ███ █ █ █ ████ █████ ████████.

███ ████████████ ████'███████ ██ ███ █ █ ██ ███████████ ███████ █ ██ █ ████ ███ [█, █] ∈ █ ███ █████ ███ █, █ ∈ █: ███ ████ ████████████ █ ██████ ████ ██████ ██'███████ ██ ███.

██ ██████ ████'███████ ██ ███ █ █ ██ ███████████ █ ██ █ ████ ███ [█, █] ∈ █ ███ █████ ███ █ ∈ █ █ █ ∈ █. ███ ██████ ████ ███████████ ████████████. ██ █ █ ██ ██████ ██ █ ██████ ██ ██████ █████████ █/█ ███████ ██'███████ ██ ███ █████████ [█ + █, █ + █] = [█, █] + █ ███ █████ ███ █, █ ∈ █. ███ ██████ ████ ████████████ █ ██████ █████ ███████████, █ ██ ███████ ████████████ █████ ███████████ ████ █████ ███ ██ ███████ ██ ███.

█████ ███████ ██ ███ ██ ███████ ███ ███████████████ ██████████ █████████████ █ ██████ ████████ ██ ████████ █████ ████ ███████████████ ███ ██████ ██ ███. ████ ███████ ██ ███ █████ █ █████████ ██ ██████████ ██████ ███ █████████ ████ ███████ ██ ███ ██ ██ ██████ ██ ███ █████ █ █████████ █████████████ ████████ (███████ ██ ███). ███████ ████ ████████ ███ ██████ ██ ███, █████ ███ █████████████ ████████, ███ █████ ███████ ████ ██████ ███████ ██ ███. ███ ███████ █ ██████ ██(█) (███████ ██████████ █×█ █ ████████ █████ ███ ████████████ █) █ ██(█) (███████ █████████ ████████ █×█ █ ████████ █████████ ███ ████████████ █) █████ ████████ ███████ ████ ██████ ███████ ██ ███, ████████████ ██ █^█ ██████ ███ ████████ ███████.

███ █████████████████ ████ ██████████ ██ ██████ ██ ███████ ██ ███ ████████ █ ██████ ██ ███████ ██ ███ ██████████; █ ██ ████ ██████████ ██ ██ █████ ████████ █████████: █ > [█, █] > [[█, █], █] > [[[█, █], █], █] > ... ██ ██████ ██ ███████ ████ ██ ██ █████ █████ ██ ███. ███ ██ ███████ ██ █████ ██'███████ ██ ███ █ ██████████ ██ █ ████ ██ ███ ████ █ ██ █ ██ █████

██(█): █ → █