█████████ da █████████ de ██████████

O █████████ da █████████, ██████ █████████ como █████████ da ██████████████ de ██████████, é um ████████ ███████████ na ████████ ████████. Ele ██████ que ██ um ██████ para a ████████ com que ██████ █████ de ████████████ ███████, como ███████ e ███████, █████ ser ██████████ ███████████████. Em ██████ ████████, ██████ mais ████████████ uma ███████████ é ██████, █████ ████████████ a █████ ███████████ pode ser █████████.

Mais ███████████, o █████████ da █████████ é ████████ uma de uma █████████ de █████████████ ███████████ que ███████ um ██████ ███████████ para o ███████ da ████████ de ██████ █████ ████████████ de ████████ em um ███████ ████████, como ███████, █, e ███████, █. Essas █████████ ████████ ███ ██████████ como █████████ ██████████████ ou █████████ █████████████ ██████████.

███████████ pela ████████ ███ em ████ pelo ██████ ██████ ██████ ██████████, a ████████████ ██████ que █████████ o ██████ ██████ da ███████ █_█ e o ██████ ██████ do ███████ █_█ foi ████████ por █████ █████ ███████ mais █████ ███████ ███ e por ███████ ████ em ████:

$\sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}$

onde $\hbar ={\frac {h}{2\pi }}$ é a █████████ de ██████ ████████.

O █████████ da █████████ ██████████████ ████████ ████████ ███ em ██████ ██████ ████ de ███████-███████. A ███████ ███████-█████ é ██████████ █████ para ██████████ o █████ de ████ do ██████ ████████ a ████████ de ███████ ███████, mas sua █████████ ██████ é ███████ de ████████ ████████ sobre a ████████ do █████. O █████████ ██████ foi █████████ em ██████ ████████; ele ████ ser ███████████ em muitos █████ de ████████ ███████ ████████████.

███████ e ███████

É █████ ████████ como o █████████ se ██████ a █████████ ███████ █████████████ ████████████, uma ███ que é █████████████ nas ███████ █████████████ que os ███████ █████████. ████ ██████████ ████████████ para a ██████ ████████ ████████ ███████████ ██████████ para o █████████ da █████████. A ██████ da ████████ ███████████ do █████████ da █████████ é mais █████████ ███████████, mas a ██████ mais ████████ da ████████ █████████ o ███████ de uma █████ que ██████████ mais ██████████.

███████████████, na ████████ ███████████, a ███████ de █████████ entre ███████ e ███████ █████ ██████ as ██████████ da ██████ de ████ nas ████ █████ ███████████ ███████████████ no ██████ de ███████ ███ █████████████ de ███████ uma da █████ (ou ████, ███████ e ███████ ███ █████████ ██████████). Uma ██████ █████████ de ████ e sua ████████████ de ███████ ███ █████ ser ███████████ ███████████ ao mesmo █████. Uma ███████████ ██████████ entre as ██████████ dos ██████████ de ███████ █████ em █████ os ████████ ███████████ à ███████ de ███████, por ███████ em █████ ███████: um ███ ████ é um ████ █████ em uma █████ ██████████, ████████ sua ████████████ de ███████ dá a █████ da ████ ██████ no ███████ do █████, que é uma ████ ████████ █████████████ █████████████. Na ████████ ████████, os ████ ██████-█████ ███ que a ███████ da █████████ ██████ a █████ de uma ████ de ███████, e o ███████ é seu █████████ de ███████, ██████████ pela ███████ de ███████ █ = ██, onde █ é o ██████ de ████.

Na ████████ █████████, a ██████████ ██████████ da ████████ ████████, ████████ ███ de ██████████ ████████████ ███ ███████████ █████████████ ███████████ █████ ████████ a ███████ de █████████ ███████████. Um ██████████ de um ██████████ ██████████ o ██████ da ██████ de ████ para um █████ █████ de ███████ (o █████████). Por ███████, se uma ███████ de um ██████████ A ███ █████████, █████ o ███████ está em um ██████████ ██████████ █ ███████ ██████████. ██████████, o ██████████ ██████████ do ██████████ A ███ ███████ ser um ██████████ de █████ ██████████ █: Se ███, █████ ele ███ tem uma ███████ █████ █████████ a ele, ████ o ███████ ███ está em um ██████████ ███████ ██████████.

████████████

O █████████ da █████████ pode ser ███████████ ██████ as ███████ de ████ de ███████-██████ e de ███████-██████ para uma █████████ sem ████ com █████ em uma ████████.

██████ mais ██████████ a ██████ de ████ de ███████-██████, mais ████████ é que a █████████ ████ ██████████ com as ███████████ de ███████ ███████ ██████ e, ███████████████████, a ██████ de ████ de ███████-██████ é █████ ██████████, de ████ que os █████████ ███████████ de ███████ que a █████████ ███████ ███ ███ mais ██████████. Por █████ ████, ██████ mais ██████████ a ██████ de ████ de ███████-██████, mais ████████ é que a █████████ ████ ██████████ com aqueles ███████ de ███████████ de ███████ ███████ ██████ e, ███████████████████, █████ ██████████ a ██████ de ████ de ███████-██████, de ████ que as ███████████ de ███████ que a █████████ ███████ ██████ ███ mais ██████████. Essas ███████ de ████ ███ █████████████ de ███████ uma da █████: ███████████████, o █████████ da █████████ ████████ a ███████ entre █████████ ██████████ na ████████████.

█████████████ da ████████ ███████████

De ██████ com a ████████ de de ███████, ████ ██████ no ████████ está █████████ a uma ████. █████, ████ ██████, de uma █████████ █████████ a ██████, █████████ e ████████ e ████, está ███████ ao █████████ da █████████.

A ██████ de ████ ████████████ do █████ de uma ████ █████ ████████ de ██████ de ████ █_█ ou ███████ █_█ é: $\psi (x)\propto e^{ik_{0}x}=e^{ip_{0}x/\hbar }~$ A █████ de ████ ██████ que isso ████ ser ████████████ como uma ██████ de █████████ de █████████ de █████████████ no ███████ de que a █████████████ de █████████ a █████████ entre a e █ é: $\operatorname {P} [a\leq X\leq b]=\int _{a}^{b}|\psi (x)|^{2}\,\mathrm {d} x~$ No ████ da ████ █████ ████████, $|\psi (x)|^{2}$ é █ se $X=x$ e █ ████ █████████. Em ██████ ████████, a ███████ da █████████ é ████████████ ███████ no ███████ de que ela ███████ █████ ██████████████ em ████████ █████ ao █████ do ██████ de █████.

Por █████ ████, █████████ uma ██████ de ████ que é uma ████ de ██████ █████, que ███████ ████████ como: $\psi (x)\propto \sum _{n}A_{n}e^{ip_{n}x/\hbar }~$ onde A_█ ██████████ a ████████████ ████████ do ████ █_█ para o █████ █████. As ███████ à ███████ ███████ como com a ██████ de ██████ █████ ██████, o ██████ de █████ pode se ██████ mais ██████████. ███████ █████ isso um █████ ███████ para o ██████ do ████████, onde a ██████ de ████ é uma ████████ sobre █████ os █████ █████████: $\psi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (p)\cdot e^{ipx/\hbar }\,dp~$ com $\varphi (p)$ █████████████ a █████████ ██████ █████ e é ███████ de ██████ de ████ no ██████ de ███████. Em ██████ ███████████, ███████ que $\varphi (p)$ é a ████████████ de ███████ de $\psi (x)$ e que █ e █ ███ █████████ ██████████. █████████ █████ essas █████ ██████ tem um █████, ou ████, o ███████ se ██████ █████ ███████, █████ se ███████ uma ███████ de █████ de muitos ████████ ██████████.

Uma ███████ de ███████████ a ████████ da ███████ e do ███████ é o ██████ ██████ █. Como $|\psi (x)|^{2}$ é uma ██████ de █████████ de █████████████ para ███████, ██████████ seu ██████ ██████.

A ████████ da ███████ é █████████, ou ████, █_█ ████████, ██████ ██████ █████ ██████, █████████████ █████ a ████████ do ███████, ou ████, █_█ █████████. █████ ███████ de ███████ isso é que █_█ e █_█ têm uma ███████ ███████ ou ███ pelo █████ █████████ por █████. Este é o █████████ da █████████, ████ ██████ █████ é o ██████ de ███████.

█████ da ████████████ de ███████ ██████ ████████ ███████████

███████ ████████████ nas ██████████ de ███████ e ███████, █████████ como: $\sigma _{x}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}\cdot |\psi (x)|^{2}\,dx-\left(\int _{-\infty }^{\infty }x\cdot |\psi (x)|^{2}\,dx\right)^{2}$ $\sigma _{p}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }p^{2}\cdot |\varphi (p)|^{2}\,dp-\left(\int _{-\infty }^{\infty }p\cdot |\varphi (p)|^{2}\,dp\right)^{2}~$

Sem █████ de ████████████, ███████████ que as ██████ ███████████, o que ████████ ██████ a uma ███████ da ██████ de nossas ███████████. (Uma █████ mais █████ que ███ ███ essa █████████ é ████ ██████.) Isso nos dá a █████ mais ███████: $\sigma _{x}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}\cdot |\psi (x)|^{2}\,dx$ $\sigma _{p}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }p^{2}\cdot |\varphi (p)|^{2}\,dp$

A ██████ $f(x)=x\cdot \psi (x)$ pode ser ████████████ como um █████ em um ██████ de ███████. ███████ ███████ um ███████ ███████ para um ███ de ████████(█) e █(█) █████ ██████ ████████: $\langle u\mid v\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }u^{*}(x)\cdot v(x)\,dx$ onde o █████████ ██████ o █████████ ████████.

Com este ███████ ███████ ████████, ███████ que a █████████ para a ███████ pode ser ███████ como: $\sigma _{x}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx=\langle f\mid f\rangle ~$

███████ ███████ isso para ███████ █████████████ a ██████ ${\tilde {g}}(p)=p\cdot \varphi (p)$ como um █████, mas ██████ ███████ █████ ████████ do ████ de que $\psi (x)$ e $\varphi (p)$ ███ █████████████ de ███████ uma da █████. █████████ a ████████████ de ███████ ███████ por ████ da ██████████ por ██████: ${\begin{aligned}g(x)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\cdot \int _{-\infty }^{\infty }{\tilde {g}}(p)\cdot e^{ipx/\hbar }\,dp\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int _{-\infty }^{\infty }p\cdot \varphi (p)\cdot e^{ipx/\hbar }\,dp\\&={\frac {1}{2\pi \hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\left[p\cdot \int _{-\infty }^{\infty }\psi (\chi )e^{-ip\chi /\hbar }\,d\chi \right]\cdot e^{ipx/\hbar }\,dp\\&={\frac {i}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\left[{\cancel {\left.\psi (\chi )e^{-ip\chi /\hbar }\right|_{-\infty }^{\infty }}}-\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\psi (\chi )}{d\chi }}e^{-ip\chi /\hbar }\,d\chi \right]\cdot e^{ipx/\hbar }\,dp\\&=-i\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\psi (\chi )}{d\chi }}\left[{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\,e^{ip(x-\chi )/\hbar }\,dp\right]\,d\chi \\&=-i\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\psi (\chi )}{d\chi }}\left[\delta \left({\frac {x-\chi }{\hbar }}\right)\right]\,d\chi \\&=-i\hbar \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\psi (\chi )}{d\chi }}\left[\delta \left(x-\chi \right)\right]\,d\chi \\&=-i\hbar {\frac {d\psi (x)}{dx}}\\&=\left(-i\hbar {\frac {d}{dx}}\right)\cdot \psi (x)\end{aligned}}$ onde $v={\frac {\hbar }{-ip}}e^{-ip\chi /\hbar }$ na ██████████ por ██████, o █████ █████████ ██████████ ██████ a ██████ de ████ ██████████ em █████ os █████████ e $|e^{-ip\chi /\hbar }|=1$ , e █████ ███ a ██████ █████ de █████ que é ██████ ██████ ${\dfrac {d\psi (\chi )}{d\chi }}$ ███ ███████ de █.

O █████ ${\textstyle -i\hbar {\frac {d}{dx}}}$ é ███████ de ████████ de ███████ no ██████ de ███████. █████████ o ███████ de ██████████ e █████ o ███████ de ████████, █████ que a █████████ para ███████ pode ser ███████ como: $\sigma _{p}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }|{\tilde {g}}(p)|^{2}\,dp=\int _{-\infty }^{\infty }|g(x)|^{2}\,dx=\langle g\mid g\rangle$

A ████████████ de ██████-███████ ██████ que: $\sigma _{x}^{2}\sigma _{p}^{2}=\langle f\mid f\rangle \cdot \langle g\mid g\rangle \geq |\langle f\mid g\rangle |^{2}~.$

O ██████ ao ████████ de ████████ ██████ ████████ █ pode ser ████████ como: $|z|^{2}={\Big (}{\text{Re}}(z){\Big )}^{2}+{\Big (}{\text{Im}}(z){\Big )}^{2}\geq {\Big (}{\text{Im}}(z){\Big )}^{2}=\left({\frac {z-z^{\ast }}{2i}}\right)^{2}$ ████████ $z=\langle f|g\rangle$ e $z^{*}=\langle g\mid f\rangle$ e ████████████ estes na ███████ █████ para █████: $|\langle f\mid g\rangle |^{2}\geq \left({\frac {\langle f\mid g\rangle -\langle g\mid f\rangle }{2i}}\right)^{2}~$ ██ █████ ███████ esses ████████ ████████. ${\begin{aligned}\langle f\mid g\rangle -\langle g\mid f\rangle &=\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x)\,x\cdot \left(-i\hbar {\frac {d}{dx}}\right)\,\psi (x)\,dx-\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x)\,\left(-i\hbar {\frac {d}{dx}}\right)\cdot x\,\psi (x)\,dx\\&=i\hbar \cdot \int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x)\left[\left(-x\cdot {\frac {d\psi (x)}{dx}}\right)+{\frac {d(x\psi (x))}{dx}}\right]\,dx\\&=i\hbar \cdot \int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x)\left[\left(-x\cdot {\frac {d\psi (x)}{dx}}\right)+\psi (x)+\left(x\cdot {\frac {d\psi (x)}{dx}}\right)\right]\,dx\\&=i\hbar \cdot \int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x)\psi (x)\,dx\\&=i\hbar \cdot \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (x)|^{2}\,dx\\&=i\hbar \end{aligned}}$ ██████████ isso às █████████████ █████, ███████: $\sigma _{x}^{2}\sigma _{p}^{2}\geq |\langle f\mid g\rangle |^{2}\geq \left({\frac {\langle f\mid g\rangle -\langle g\mid f\rangle }{2i}}\right)^{2}=\left({\frac {i\hbar }{2i}}\right)^{2}={\frac {\hbar ^{2}}{4}}$ e ██████████ a ████ ████████: $\sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}~$ com █████████ se e ███████ se █ e █ ███ ███████████ ███████████. ████ que a █████ ██████ █████████ █████ █████ foi que $\psi (x)$ e $\varphi (p)$ ███ ███████ de ████ para ███████ e ███████, que ███ █████████████ de ███████ uma da █████. Um █████████ ███████ █████ ██████ para ████████ ███ de █████████ ██████████.

█████████████ da ████████ █████████

Na ████████ █████████, ███████████ como ███████ e ███████ ███ █████████████ por ██████████ ████████████. Ao ██████████ █████ de ███████████, uma ██████████ ██████████ é o █████████. Para um ███ de ██████████ Â e ${\hat {B}}$ , ██████-se seu █████████ como: $[{\hat {A}},{\hat {B}}]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}$ No ████ de ███████ e ███████, o █████████ é a ███████ de █████████ ████████: $[{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar$ O ███████████ ██████ da ███ ██████████████ pode ser ████████████ ████████████ o ██████ do █████████ nos ███████████ de ███████ e ███████. ████ $|\psi \rangle$ um ██████████ ████ de ███████ com um █████████ █████████ █_█. Por █████████, isso █████████ que ${\hat {x}}|\psi \rangle =x_{0}|\psi \rangle$ . █████████ o █████████ $|\psi \rangle$ ██████: $[{\hat {x}},{\hat {p}}]|\psi \rangle =({\hat {x}}{\hat {p}}-{\hat {p}}{\hat {x}})|\psi \rangle =({\hat {x}}-x_{0}{\hat {I}}){\hat {p}}\,|\psi \rangle =i\hbar |\psi \rangle$ onde █ é o ████████ ██████████.

███████, para ████ de █████ por ███████████, que $|\psi \rangle$ ██████ é um ██████████ ████ de ███████, com █████████ █████████ █_█. Se isso █████ ███████, █████ ██████████ ████████: $({\hat {x}}-x_{0}{\hat {I}}){\hat {p}}\,|\psi \rangle =({\hat {x}}-x_{0}{\hat {I}})p_{0}\,|\psi \rangle =(x_{0}{\hat {I}}-x_{0}{\hat {I}})p_{0}\,|\psi \rangle =0$ Por █████ ████, a ███████ de █████████ ████████ █████ ██████ que: $[{\hat {x}},{\hat {p}}]|\psi \rangle =i\hbar |\psi \rangle \neq 0$ Isso ███████ que ██████ ██████ ████████ pode ser ███████████████ um ██████████ de ███████ e ███████.

Quando um ██████ é ██████, ele é █████████ em um ██████████ na ████ do ██████████ █████████. Por ███████, se a ███████ de uma █████████ é ██████, █████ o ██████ ████████ a um ██████████ de ███████. Isso █████████ que o ██████ ███ é um ██████████ de ███████, no ███████, mas pode ser ████████████ como uma ████ de ██████ ███████████ de ████ de ███████. Em ██████ ████████, o ███████ ████ ser █████ ███████. Essa ████████ pode ser ████████████ pelos ███████-██████: $\sigma _{x}={\sqrt {\langle {\hat {x}}^{2}\rangle -\langle {\hat {x}}\rangle ^{2}}}$ $\sigma _{p}={\sqrt {\langle {\hat {p}}^{2}\rangle -\langle {\hat {p}}\rangle ^{2}}}$ █████ como na █████████████ da ████████ ███████████ █████, ███████-se uma ███████████ entre as ███████████ █████████ dos ████, █████████████ pelo █████████ da █████████.

███████ █████████████ do █████████ █████████ ████████

█████████ um █████████ █████████ ████████ ██████████████. É ████████ █████████ os ██████████ de ███████ e ███████ em ██████ dos ██████████ de ███████ e ███████████: ${\hat {x}}={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega }}}(a+a^{\dagger })$ ${\hat {p}}=i{\sqrt {\frac {m\omega \hbar }{2}}}(a^{\dagger }-a)$ ██████ as ██████ ██████ para ██████████ de ███████ e ███████████ nos ███████████ de ███████: $a^{\dagger }|n\rangle ={\sqrt {n+1}}|n+1\rangle$ $a|n\rangle ={\sqrt {n}}|n-1\rangle$ as ██████████ █████ ser ██████████ ███████████: $\sigma _{x}^{2}={\frac {\hbar }{m\omega }}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)$ $\sigma _{p}^{2}=\hbar m\omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)$ O ███████ ██████ ███████ ██████ é █████: $\sigma _{x}\sigma _{p}=\hbar \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\geq {\frac {\hbar }{2}}$ Em ██████████, o ██████ de ███████ █████ é ████████ para o ██████ ███████████ █=█, para o qual a █████████ de █████████████ é ██████ a ████████████ ██████.

███████████ ██████████ █████████ com ████████ ███████ █████████

Em um █████████ █████████ ████████ de ██████████ ███████ ██████████████ █, ███████ um ██████ que é █████████ da ████ do █████████ por █████ ████████████ █_█ como: $\psi (x)=\left({\frac {m\Omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\exp {\left(-{\frac {m\Omega (x-x_{0})^{2}}{2\hbar }}\right)}$ onde █ ████████ a ███████ do ██████ ███████, mas ███ ███████ ser o mesmo que █. Por ████ da ██████████ sobre o ██████████, ███████ ████████ a ███████ ██████████ do █████ █████. ████ muitos █████████████, as ██████████ de █████████████ ███████ para: $|\Psi (x,t)|^{2}\sim {\mathcal {N}}\left(x_{0}\cos {(\omega t)},{\frac {\hbar }{2m\Omega }}\left(\cos ^{2}(\omega t)+{\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}\sin ^{2}{(\omega t)}\right)\right)$ $|\Phi (p,t)|^{2}\sim {\mathcal {N}}\left(-mx_{0}\omega \sin(\omega t),{\frac {\hbar m\Omega }{2}}\left(\cos ^{2}{(\omega t)}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\sin ^{2}{(\omega t)}\right)\right)$ onde ██████ a ███████ ${\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ para ███████ uma ████████████ ██████ de █████ █ e █████████ █^█. ████████ as ██████████ █████ e █████████ ███████████ ███████████████, ███████ ████████ o ███████ dos ███████ ███████ como: ${\begin{aligned}\sigma _{x}\sigma _{p}&={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {\left(\cos ^{2}{(\omega t)}+{\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}\sin ^{2}{(\omega t)}\right)\left(\cos ^{2}{(\omega t)}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\sin ^{2}{(\omega t)}\right)}}\\&={\frac {\hbar }{4}}{\sqrt {3+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\right)-\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\right)-1\right)\cos {(4\omega t)}}}\end{aligned}}$ A ██████ das ████████ ${\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\geq 2,\quad |\cos(4\omega t)|\leq 1$ ███████ ████████ o ████████ (a █████████ mais à ███████ é ██████ ███████ quando █ = █): $\sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{4}}{\sqrt {3+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\right)-\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\right)-1\right)}}={\frac {\hbar }{2}}$

███████ █████████

Um ██████ ████████ é um ██████████ ███████ do ████████ de ███████████, ${\hat {a}}|\alpha \rangle =\alpha |\alpha \rangle$ que pode ser ████████████ em ██████ de ███████ de ████ como: $|\alpha \rangle =e^{-{|\alpha |^{2} \over 2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha ^{n} \over {\sqrt {n!}}}|n\rangle$ Na ██████ em que o ██████ ████████ é uma █████████ ███████ em um █████████ █████████ ████████, os ██████████ de ███████ e ███████ █████ ser █████████ em ██████ dos ██████████ de ███████████ nas ██████ ████████ █████ e ██████ para ████████ as ██████████: $\sigma _{x}^{2}={\frac {\hbar }{2m\omega }}$ $\sigma _{p}^{2}={\frac {\hbar m\omega }{2}}$ ████████, ████ ██████ ████████ ██████ o ██████ de ███████: $\sigma _{x}\sigma _{p}={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega }}}{\sqrt {\frac {\hbar m\omega }{2}}}={\frac {\hbar }{2}}$ Com ███████ e ███████ ████████████ ████ um com uma ██████████ ${\textstyle {\sqrt {\hbar /2}}}$ de uma █████ "██████████". ████ █████, ████ ██████ ████████ ██████████ ██████ ██████ o ██████ de ███████, ██████ as █████████████ ███████████ de ███████ e ███████ ███ ████████ ser ███████████ em █████.

█████████ em uma █████

█████████ uma █████████ em uma █████ ██████████████ de ███████████ $█$ . As ███████████ no ██████ de ███████ e ███████ ███: $\psi _{n}(x,t)={\begin{cases}A\sin(k_{n}x)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega _{n}t},&0<x<L,\\0,&{\text{caso contrário,}}\end{cases}}$ e $\varphi _{n}(p,t)={\sqrt {\frac {\pi L}{\hbar }}}\,\,{\frac {n\left(1-(-1)^{n}e^{-ikL}\right)e^{-i\omega _{n}t}}{\pi ^{2}n^{2}-k^{2}L^{2}}}$ onde ${\textstyle \omega _{n}={\frac {\pi ^{2}\hbar n^{2}}{8L^{2}m}}}$ e ██████ a ███████ de de ███████ $p=\hbar k$ . As ██████████ de $█$ e $█$ █████ ser ██████████ ██████████████: $\sigma _{x}^{2}={\frac {L^{2}}{12}}\left(1-{\frac {6}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)$ $\sigma _{p}^{2}=\left({\frac {\hbar n\pi }{L}}\right)^{2}$ O ███████ dos ███████-██████ é, ████████: $\sigma _{x}\sigma _{p}={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{3}}-2}}$ Para ████ $n=1,\,2,\,3,\,\ldots$ , a ██████████ ${\textstyle {\sqrt {{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{3}}-2}}}$ é █████ que █, █████ o █████████ da █████████ █████ é ███████. Para ██████████ ████████, o █████ █████ ██████ quando $n=1$ , ████ em que: $\sigma _{x}\sigma _{p}={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {{\frac {\pi ^{2}}{3}}-2}}\approx 0,568\hbar >{\frac {\hbar }{2}}$

███████ █████████

███████ que uma █████████ ████████████ █████ uma ██████ de ████ de ██████ de ███████ ████████ por uma ████████████ ██████ em █████ de █████ ███████ █████████ █_█ de ██████ com: $\varphi (p)=\left({\frac {x_{0}}{\hbar {\sqrt {\pi }}}}\right)^{1/2}\exp \left({\frac {-x_{0}^{2}(p-p_{0})^{2}}{2\hbar ^{2}}}\right)$ Onde ████████████ uma ██████ de ██████████ ${\textstyle x_{0}={\sqrt {\hbar /m\omega _{0}}}}$ , com $\omega _{0}>0$ ███████████ a ███████ da ████████████. Se o ██████ █████ ███████ no ██████ █████, █████ as ███████ de ████ de ██████ de ███████ e de ███████ ███████████ de █████ ███: $\Phi (p,t)=\left({\frac {x_{0}}{\hbar {\sqrt {\pi }}}}\right)^{1/2}\exp \left({\frac {-x_{0}^{2}(p-p_{0})^{2}}{2\hbar ^{2}}}-{\frac {ip^{2}t}{2m\hbar }}\right)$ $\Psi (x,t)=\left({\frac {1}{x_{0}{\sqrt {\pi }}}}\right)^{1/2}{\frac {e^{-x_{0}^{2}p_{0}^{2}/2\hbar ^{2}}}{\sqrt {1+i\omega _{0}t}}}\,\exp \left(-{\frac {(x-ix_{0}^{2}p_{0}/\hbar )^{2}}{2x_{0}^{2}(1+i\omega _{0}t)}}\right)$ Como $\langle p(t)\rangle =p_{0}$ e $\sigma _{p}(t)=\hbar /({\sqrt {2}}x_{0})$ , isso pode ser ████████████ como uma █████████ se ███████ com ███████ █████████ em ████████ ███████████████ ████. Por █████ ████, o ██████ ██████ de ███████ é: $\sigma _{x}={\frac {x_{0}}{\sqrt {2}}}{\sqrt {1+\omega _{0}^{2}t^{2}}}$ ███ que o ███████ da █████████ ██ pode ████████ com o █████ ████████: $\sigma _{x}(t)\sigma _{p}(t)={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {1+\omega _{0}^{2}t^{2}}}$

██████████ ██████████

█████████ com a █████████ de ███████ da █████████ do ███ ███████-███████, ██████ █████ █████████ ███████████ uma ██████████ para ██████████ ███████████ ███████████ ${\hat {\mathcal {O}}}$ █████████ em ██████ de seus ███████ ██████ $\sigma _{\mathcal {O}}={\sqrt {\langle {\hat {\mathcal {O}}}^{2}\rangle -\langle {\hat {\mathcal {O}}}\rangle ^{2}}}$ onde os █████████ $\langle {\hat {\mathcal {O}}}\rangle$ ███████ um █████ ████████ do ██████████ ████████████ pelo ████████ ${\hat {\mathcal {O}}}$ . Para um ███ de ██████████ ${\hat {A}}$ e ${\hat {B}}$ , ██████ o █████████ deles como $[{\hat {A}},{\hat {B}}]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}$ e a ███████ de █████████ de █████████ é ████ por $\sigma _{A}\sigma _{B}\geq \left|{\frac {1}{2i}}\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle \right|={\frac {1}{2}}\left|\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle \right|$ █████ ███████████ ███████ como ████████ a ██████████ entre os ██████████, █████ uma ████████████ mais █████, █████████ como ███████ de █████████ de █████████ e ███████████,

$\sigma _{A}^{2}\sigma _{B}^{2}\geq \left|{\frac {1}{2}}\langle \{{\hat {A}},{\hat {B}}\}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle \right|^{2}+\left|{\frac {1}{2i}}\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle \right|^{2}$

onde o █████████████ $\{{\hat {A}},{\hat {B}}\}={\hat {A}}{\hat {B}}+{\hat {B}}{\hat {A}}$ é █████.

█████ da ███████ de █████████ de ███████████

A █████████ ████████ ████ █████████ e se ██████ ████████ █████████ em █████████, ███████████ e ██████ █████████ ██████ como █████████. Para ████████ ████████ ██████████ ${\hat {A}}$ , com ████ na █████████ de █████████, █████: $\sigma _{A}^{2}=\langle ({\hat {A}}-\langle {\hat {A}}\rangle )\Psi |({\hat {A}}-\langle {\hat {A}}\rangle )\Psi \rangle$ ████████ $|f\rangle =|({\hat {A}}-\langle {\hat {A}}\rangle )\Psi \rangle$ e █████: $\sigma _{A}^{2}=\langle f\mid f\rangle \$

Da █████ █████, para ████████ █████ ████████ ██████████ ${\hat {B}}$ no mesmo ██████ $\sigma _{B}^{2}=\langle ({\hat {B}}-\langle {\hat {B}}\rangle )\Psi |({\hat {B}}-\langle {\hat {B}}\rangle )\Psi \rangle =\langle g\mid g\rangle$ para $|g\rangle =|({\hat {B}}-\langle {\hat {B}}\rangle )\Psi \rangle$ .

O ███████ dos ████ ███████ pode █████ ser ████████ como:

Para ██████████ os ████ ███████ $|f\rangle$ e $|g\rangle$ , ██████ a ████████████ de ██████-███████ que é ████████ como $\langle f\mid f\rangle \langle g\mid g\rangle \geq |\langle f\mid g\rangle |^{2}$ e █████ a ███████ (█) pode ser ███████ como:

Como $\langle f\mid g\rangle$ é em █████ um ██████ ████████, ██████ o ████ de que o ██████ ao ████████ de ████████ ██████ ████████ $█$ é ████████ como $|z|^{2}=zz^{*}$ , onde $z^{*}$ é o █████████ ████████ de $█$ . O ██████ ao ████████ ██████ pode ser ████████ como:

████████ $z=\langle f\mid g\rangle$ e $z^{*}=\langle g\mid f\rangle$ e ████████████ estes na ███████ █████ para █████:

O ███████ ███████ $\langle f\mid g\rangle$ é ███████ ██████████████ como $\langle f\mid g\rangle =\langle ({\hat {A}}-\langle {\hat {A}}\rangle )\Psi |({\hat {B}}-\langle {\hat {B}}\rangle )\Psi \rangle$ e, ██████ o ████ de que ${\hat {A}}$ e ${\hat {B}}$ ███ ██████████ ███████████, ███████████: ${\begin{aligned}\langle f\mid g\rangle &=\langle \Psi |({\hat {A}}-\langle {\hat {A}}\rangle )({\hat {B}}-\langle {\hat {B}}\rangle )\Psi \rangle \\[4pt]&=\langle \Psi \mid ({\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {A}}\langle {\hat {B}}\rangle -{\hat {B}}\langle {\hat {A}}\rangle +\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle )\Psi \rangle \\[4pt]&=\langle \Psi \mid {\hat {A}}{\hat {B}}\Psi \rangle -\langle \Psi \mid {\hat {A}}\langle {\hat {B}}\rangle \Psi \rangle -\langle \Psi \mid {\hat {B}}\langle {\hat {A}}\rangle \Psi \rangle +\langle \Psi \mid \langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle \Psi \rangle \\[4pt]&=\langle {\hat {A}}{\hat {B}}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle +\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle \\[4pt]&=\langle {\hat {A}}{\hat {B}}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle \end{aligned}}$

Da █████ █████, pode ser ███████████ que: $\langle g\mid f\rangle =\langle {\hat {B}}{\hat {A}}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle$

█████, █████: $\langle f\mid g\rangle -\langle g\mid f\rangle =\langle {\hat {A}}{\hat {B}}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle -\langle {\hat {B}}{\hat {A}}\rangle +\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle =\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle$ e $\langle f\mid g\rangle +\langle g\mid f\rangle =\langle {\hat {A}}{\hat {B}}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle +\langle {\hat {B}}{\hat {A}}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle =\langle \{{\hat {A}},{\hat {B}}\}\rangle -2\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle$

█████ ████████████ as ████ ████████ █████ de █████ na ███████ (█) e ███████: $|\langle f\mid g\rangle |^{2}={\Big (}{\frac {1}{2}}\langle \{{\hat {A}},{\hat {B}}\}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle {\Big )}^{2}+{\Big (}{\frac {1}{2i}}\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle {\Big )}^{2}\$

████████████ a █████ na ███████ (█) ███████ a ███████ de █████████ de ███████████: $\sigma _{A}\sigma _{B}\geq {\sqrt {{\Big (}{\frac {1}{2}}\langle \{{\hat {A}},{\hat {B}}\}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle {\Big )}^{2}+{\Big (}{\frac {1}{2i}}\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle {\Big )}^{2}}}$

Esta █████ tem um ████████ ███████████ aos ████████ dos ██████████ ██████████. Para que a █████ ████ ███████, o █████ ${\hat {B}}|\Psi \rangle$ tem que █████ no ███████ do ████████ █████████ ${\hat {A}}$ , o que nem ██████ é o ████. De ████, a ███████ de █████████ de █████████ é █████ se ${\hat {A}}$ ███ uma ████████ ███████ e ${\hat {B}}$ ███ a ████████ em ███████ a esta ████████. █████ ███████, o █████████ é uma █████████ █████████ de ████ — █████ como na ███████ de █████████ de ██████████ — e █████ █████ ██ ███████ onde o ███████ das ██████████ é ████. (████ a █████ de █████████████ ██████.) Este ████████ pode ser ████████ ██████ um ██████ ███████████ para a █████, ou ███████████ com uma ██████ ████████████ das ████████ de █████████ █████████.

████ que na █████ █████ da ███████ de █████████ de █████████ e ███████████, ███ ██ ███████████ de ███████ que os ██████████ ${\hat {A}}$ e ${\hat {B}}$ ███ ██████████ ████████████. É ██████████ ███████ que eles ███ █████████ ██████████ ██████████. (A █████████ entre essas ████ ██████ é ██████████ ████████ na ██████████ de ██████, onde o █████ ██████████ é █████ para uma ou █████ as ███████ de ██████████. ████ o ████████ █ do █████ de ████ para uma █████████ █████████ █████ █████████ ██████████, mas ███████.)

██████ de ████

Na ██████████ do ██████ de ████ da ████████ ████████, a ███████ de █████████ e ███████████ ███████ de uma ████████ de ████████████ em uma ██████ ███████-████████ ████. ████ uma ██████ de ██████ $W(x,p)$ com ███████ ███████ ★ e uma ██████ █, o ████████ é ██████████ ██████████: $\langle f^{*}\star f\rangle =\int (f^{*}\star f)\,W(x,p)\,dx\,dp\geq 0~$

██████████ $f=a+bx+cp$ , ████████ a: $\langle f^{*}\star f\rangle ={\begin{bmatrix}a^{*}&b^{*}&c^{*}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&\langle x\rangle &\langle p\rangle \\\langle x\rangle &\langle x\star x\rangle &\langle x\star p\rangle \\\langle p\rangle &\langle p\star x\rangle &\langle p\star p\rangle \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}}\geq 0~$

Como essa ████████ de ████████████ é ██████████ para █████ a, █ e █, █████-se que █████ os ███████████ da ██████ ███ ███ █████████.

Os ███████████ que ███ ███ █████████ ████████ █████ uma ████████ de ███ ████████████ ██████████████ no ████████████: $\det {\begin{bmatrix}1&\langle x\rangle &\langle p\rangle \\\langle x\rangle &\langle x\star x\rangle &\langle x\star p\rangle \\\langle p\rangle &\langle p\star x\rangle &\langle p\star p\rangle \end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}1&\langle x\rangle &\langle p\rangle \\\langle x\rangle &\langle x^{2}\rangle &\left\langle xp+{\frac {i\hbar }{2}}\right\rangle \\\langle p\rangle &\left\langle xp-{\frac {i\hbar }{2}}\right\rangle &\langle p^{2}\rangle \end{bmatrix}}\geq 0~$ ou, ██████████████, ████ ███████████ █████████: $\sigma _{x}^{2}\sigma _{p}^{2}=\left(\langle x^{2}\rangle -\langle x\rangle ^{2}\right)\left(\langle p^{2}\rangle -\langle p\rangle ^{2}\right)\geq \left(\langle xp\rangle -\langle x\rangle \langle p\rangle \right)^{2}+{\frac {\hbar ^{2}}{4}}~$

████████

Como as ████████ de █████████ e ███████████ ███ para ██████████ ██████, as ████████ █████ ser █████████ a █████████ ████ ███████████ para █████ ████████ de █████████ ███████████. ███████ das ████████ mais ██████ ███████████ na ██████████ ███ ██████████ ██████.

███████ de █████████ ███████-███████ ██████: para os ██████████ de ███████ e ███████ ██████, a ███████ de █████████ ████████ $[{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar$ ███████ a ████████████ de ███████ █████: $\sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}$
███████ de █████████ do ███████ ███████: para ████ ███████████ ██████████ do ████████ de ███████ ███████ █████ de um ██████: $\sigma _{J_{i}}\sigma _{J_{j}}\geq {\frac {\hbar }{2}}{\big |}\langle J_{k}\rangle {\big |}$ onde █, █, █ ███ █████████, e █_█ ██████ ███████ ███████ ao █████ do ████ █_█. Essa ███████ ███████ que, a █████ que █████ os ████ ███████████ ███████████ ██████, ██████ um █████ ██████████ do ███████ ███████ de um ███████ pode ser ████████ com ████████ ██████████, ███████████ o ██████████ ████████ a um █████ ███████ (█████████ ou ████████). ████ █████, para $[J_{x},J_{y}]=i\hbar \varepsilon _{xyz}J_{z}$ , uma ███████ ${\hat {A}}=J_{x}$ , ${\hat {B}}=J_{y}$ , em ███████████ de ███████ ███████, █ = |█, █⟩, ██████ a ██████████ de ███████ (███████ ███████ ao ████████, $\langle J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+J_{z}^{2}\rangle$ ) a ██████ de █████ e, ████████, ██████ ██████████ █████, como █(█ + █) ≥ █(█ + █) e, ████████, █ ≥ █, entre ██████.
Para o ██████ de ████████ em um █████████████ e a ████ de seu █████████ de █████ de ████████-██████ $\Delta N\,\Delta \varphi \geq 1$

██████████

A █████████ da ████████████ de █████████ para os ██████████ ${\hat {A}}$ e ${\hat {B}}$ ██████ que ${\hat {A}}{\hat {B}}\psi$ e ${\hat {B}}{\hat {A}}\psi$ █████ █████████. ███████ ████████ █████████ onde essas █████████ ███ ███ ███████. Um ███████ é uma █████████ ████████ em um ████, onde a ██████ de ████ ███████ de uma ████████ ███████ $\theta$ no █████████ $[0,2\pi ]$ . ██████ os ██████████ de "███████" e "███████" ${\hat {A}}$ e ${\hat {B}}$ por: ${\hat {A}}\psi (\theta )=\theta \psi (\theta ),\quad \theta \in [0,2\pi ]$ e ${\hat {B}}\psi =-i\hbar {\frac {d\psi }{d\theta }}$ com █████████ de ██████ ██████████ em ${\hat {B}}$ . A █████████ de ${\hat {A}}$ ███████ do █████████ $\theta$ de █ a $2\pi$ . Esses ██████████ ██████████ as ████████ de █████████ ██████ para ██████████ de ███████ e ███████, $[{\hat {A}},{\hat {B}}]=i\hbar$ . Mais ████████████, ${\hat {A}}{\hat {B}}\psi -{\hat {B}}{\hat {A}}\psi =i\hbar \psi$ ██████ que ${\hat {A}}{\hat {B}}\psi$ e ${\hat {B}}{\hat {A}}\psi$ ███ █████████, e o ██████ de ███ $\psi$ é um █████████ █████ do ██████ de ███████ ████████.

█████ ████ $\psi$ ████████ um dos ███████████ de ${\hat {B}}$ , que ███ █████ por $\psi (\theta )=e^{2\pi in\theta }$ . Esses ███████ ███ █████████████, ██████████████ dos ███████████ do ████████ de ███████ na ████. ████ █████, o ████████ ${\hat {A}}$ é ████████, ██ que $\theta$ ███████ um █████████ ████████. █████, no ██████ $\psi$ , a █████████ de $█$ é ████ e a █████████ de $A$ é ██████, de ████ que: $\sigma _{A}\sigma _{B}=0$ O █████████ da █████████ de █████████ ███ se ██████ █████ ████: $\psi$ ███ está no ███████ do ████████ ${\hat {B}}{\hat {A}}$ , uma ███ que a █████████████ por $\theta$ ██████████ as █████████ de ██████ ██████████ ████████ a ${\hat {B}}$ .

Para os ██████████ ██████ de ███████ e ███████ ${\hat {X}}$ e ${\hat {P}}$ na ████ ████, ██████ ██████ ██████████████ pode ███████. ████████ $\sigma _{x}$ e $\sigma _{p}$ ███ █████████ no ██████ $\psi$ , o █████████ da █████████ de ██████████ é ██████, mesmo que $\psi$ ███ ██████ no ███████ de ${\hat {X}}{\hat {P}}$ ou de ${\hat {P}}{\hat {X}}$ .

███████ ██████

A █████████ de █████████ e ███████████ pode ser █████████ ██████████ que ela ████ ser ██████ para █████ os ███████████ $\varrho _{k}$ em ████████ ████████████ da ██████ de █████████ ████ como: $\varrho =\sum _{k}p_{k}\varrho _{k}$ ████, para as ██████████████ $p_{k}\geq 0$ e $\sum _{k}p_{k}=1$ ████. █████, ██████ a ███████: $\sum _{k}a_{k}\sum _{k}b_{k}\geq \left(\sum _{k}{\sqrt {a_{k}b_{k}}}\right)^{2}$ para $a_{k},b_{k}\geq 0$ , █████-se que: $\sigma _{A}^{2}\sigma _{B}^{2}\geq \left[\sum _{k}p_{k}L(\varrho _{k})\right]^{2}$ onde a ██████ no ██████ é ████████: $L(\varrho )={\sqrt {\left|{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} (\rho \{A,B\})-\operatorname {tr} (\rho A)\operatorname {tr} (\rho B)\right|^{2}+\left|{\frac {1}{2i}}\operatorname {tr} (\rho [A,B])\right|^{2}}}$

A ███████ █████ ██████████████ tem um ██████ █████ do que o da ███████ de █████████ de █████████ e ███████████ ████████. █████, ██████████ ████████ o ██████ da █████████ de █████████ e ███████████ para os ███████████ ██████ do ██████ ████████ em ███ de para o ██████ ████████, e ████████ uma █████ de suas ██████ █████████. A █████████ a ██████ é mais █████ do que a ███████ de █████████ de █████████ e ███████████: $\sigma _{A}^{2}\sigma _{B}^{2}\geq \left[\max _{p_{k},\varrho _{k}}\sum _{k}p_{k}L(\varrho _{k})\right]^{2}$ onde no ████ ███████ ██ um ████ ███████ sobre as █████████████ da ██████ de █████████. A ███████ █████████ █████ é ████████ por █████ os ███████ █████████ de █████ █████.

Com ██████████ ███████████, pode-se ███████ uma ███████ com um ████ ███████ no ████ ███████ $\sigma _{A}^{2}F_{Q}[\varrho ,B]\geq 4\left[\min _{p_{k},\Psi _{k}}\sum _{k}p_{k}L(\vert \Psi _{k}\rangle \langle \Psi _{k}\vert )\right]^{2}$ onde $F_{Q}[\varrho ,B]$ ██████ a ██████████ ████████ de ██████ e a ██████ de █████████ é ██████████ em ███████ █████ como: $\varrho =\sum _{k}p_{k}\vert \Psi _{k}\rangle \langle \Psi _{k}\vert$ A █████████ █████████ o ████ de que a ██████████ ████████ de ██████ é o ████ ███████ da █████████ █████ ██████.

Uma ████████████ mais ███████ █████ sem um ████ ███████: $\sigma _{A}^{2}F_{Q}[\varrho ,B]\geq \vert \langle i[A,B]\rangle \vert ^{2}$ que é mais █████ do que a ███████ de █████████ de ██████████, uma ███ que para a ██████████ ████████ de ██████ █████ $F_{Q}[\varrho ,B]\leq 4\sigma _{B}$ ████████ para ███████ █████ a █████████ é ██████.

As ████████ de █████████ de ███████ e ████

A ███████ de █████████ de █████████ e ███████████ pode ser ███████ se o ██████ do ███████ ███ █████████ para ser ██████████ de um dos ███████████. As ████████ de █████████ mais ██████ ████████ por ███████ ███████ e ████ █. ████ ████████ ███████ que ███ ███ ████████ na ████ das ██████████ para ████ ███████████ █████████████. (█████████ ██████████ sobre ████████ de █████████ ██████████ como a ████ das ██████████ ███████, por ███████, ███. ██████ a ██████ █████.) Para ████ ███████████ que ███ ███ ███████████ $A$ e $█$ a ████████ ███████ de █████████ mais █████ é ████ por $\sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}\geq \pm i\langle \Psi \mid [A,B]|\Psi \rangle +\mid \langle \Psi \mid (A\pm iB)\mid {\bar {\Psi }}\rangle |^{2},$ onde $\sigma _{A}^{2}=\langle \Psi |A^{2}|\Psi \rangle -\langle \Psi \mid A\mid \Psi \rangle ^{2}$ , $\sigma _{B}^{2}=\langle \Psi |B^{2}|\Psi \rangle -\langle \Psi \mid B\mid \Psi \rangle ^{2}$ , $|{\bar {\Psi }}\rangle$ é um █████ ███████████ que é █████████ ao ██████ do ███████ $|\Psi \rangle$ e ████-se ████████ o █████ de $\pm i\langle \Psi \mid [A,B]\mid \Psi \rangle$ para ██████ esta ██████████ ████ um ██████ ████████.

A ███████ ███████ de █████████ mais █████ é ████ por $\sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}\geq {\frac {1}{2}}|\langle {\bar {\Psi }}_{A+B}\mid (A+B)\mid \Psi \rangle |^{2}$ onde $|{\bar {\Psi }}_{A+B}\rangle$ é um ██████ █████████ a $|\Psi \rangle$ . A █████ de $|{\bar {\Psi }}_{A+B}\rangle$ ███████ que o ████ ███████ da ████ ███████ de █████████ é █████████ de ████, a █████ que $|\Psi \rangle$ ████ um ██████████ de $(A+B)$ . Pode-se █████ que $|\Psi \rangle$ pode ser um ██████████ de $(A+B)$ sem ser um ██████████ de $A$ ou $█$ . No ███████, quando $|\Psi \rangle$ é um ██████████ de um dos ████ ███████████, a ███████ de █████████ de ██████████-███████████ se █████ ███████. Mas o ██████ ████████ na ████ ███████ é █████████ de ████, a █████ que $|\Psi \rangle$ ████ um ██████████ de █████.

███████ e █████

███████ da █████ do ████████ de ███████ ██████ ████ ████

Uma ███████ de █████████ do ███ ███████-█████ como $\Delta E\Delta t\gtrsim \hbar /2$ tem uma █████ e ███████████ ████████; os ████████████ de $\Delta t$ e $\Delta E$ ██████ e ██████████ ███████████ têm ██████████ ██████ de ████████. No ███████, uma █████████ ███ █████████ é ███ ████████████ e ██████████ █████████████████: a ███████ entre o █████ de ████ de um ██████ de ███████████ $\tau _{\sqrt {1/2}}$ e sua ███████ de ███████ $\Delta E$ : $\tau _{\sqrt {1/2}}\Delta E=\pi \hbar /4$ Na ██████ de ██████████, ████████ de ███████ █████████████ para a ████████████ de ███████ de █████-██████ ███ ██████ para ████████████ o █████ de ████ de ███████ █████ ████████ ou em ██████████.

Um ███████████ ████████ e ██████████ do █████████ é o ████████: Um ██████ que ██████ ██████ por um █████ ███████ de █████ ███ pode ███ uma ███████ ████████. Para ███ uma ███████ ████████, a ██████████ do ██████ ████ ser ████████ com ████████, e isso ██████ que o ██████ █████████ por muitos ██████, o █████████ da ████████ ██████████. Por ███████, na ██████████████, ███████ █████████ têm um █████ de ████ ██████. Pelo █████████ da █████████ do ███ ███████-█████, eles ███ têm uma ███████ ████████ e, ████ ███ que ██████, a ███████ que ███████ é ████████████ █████████. A ███████ █████ do █████ de █████ tem um ████ na ███████ ███████ do ██████, mas a ████████████ tem uma ███████ ██████ ███████ ███████ de █████ ███████. ███████ de ██████████ ██████ têm uma ███████ de █████ █████, ████████ ███████ de ██████████ █████ têm uma ███████ de █████ ████████. O mesmo ██████ de ███████ de █████ ██████ █████ ███████ ███████████ a █████ de ███████ de ██████████ █████████ e de ██████████ ██████ na ██████ de ██████████. ██████ mais ██████ a █████████ █████ (█████ seu █████ de ████), █████ █████ é sua █████ (█████ a ███████ da █████████).

█████ na ████████ ████████

O ████████ de "█████" na ████████ ████████ ███████ muitos ████████. ███ ██████ uma ██████ ████████ de ███████ de █████; a ████████████ é ███████████ para o █████ e ███████ de ███████ na ████████ ████████. ████████ a ███████ e o ███████ █████ ██████████ a uma █████ █████████, o █████ é uma ███████████ do ███████: ███ tem ████████ ██████████ para a ███████ de █████████ e ███████████. O ██████████ ██████████ de ████████ █████████ ████████ e █████████ ██████. Esses ███████ se ████████ para ██████ os ██████████ de █████████ do ███ ███████-█████ ████████████.

████ ██████ de "█████" █████ ser ████████████: ███████, ██████████ e ██████████. O █████ ███████ ou de ███████████ é █████ pelo ██████████████; o █████ ██████████ é ████████ por ████████ em █████████ █████████, como os █████████ de um ███████ ou o █████████ de uma █████████ █████; o █████ ██████████ ███ ████████ ao █████ como um ██████████, a ███████ de ███████ █████████ pelo █████.

Um █████████ de █████████ do ███ █████-███████ de █████ ███████ pode █████ que █████ a ███████ de um ███████ ████████ com uma ████████ $\Delta E$ ██████ um █████████ de █████ $\Delta t>h/\Delta E$ . No ███████, █████ ████████ e █████ ████ █████████ que, em ██████ ████████ █████████, a ███████ pode ser ██████ com ████████ ██████ de um █████ ███████████████ █████: os ██████████ de █████████ de █████ ███████ ███ ███ ██████████.

O █████ ██████████ é a ████ para ██████ ███████████ de ████████ de █████████ do ███ ███████-█████, █████████ a ███████ de ██████████-████ █████████ na ███████ █████. Um ███████ ██████ com um █████ ██████████ que ███████████ ███████████ ao █████ de ███████████ ███████ é ███████ de um "███████".

O █████ ██████████, que ████ o █████ entre ████ ███████, ████████ █████ um ███████ para as ███████ █████████; █████ █████████ foi █████ ██████ █████████ de ██████ com █████ de ████████ ████████.

██████████ e ████

Em ████, ██████ ██████████ e ████ ████ █████████ uma ███████ de █████████ do ███ █████-███████ que ███ é █████████████ da ████████ █████: Da ████████ de ██████████, o ███████ de █████████ ████████████ para um ██████████ █ sem ███████████ ████████ █████████, ████████████ por um ████████ ████-███████ ${\hat {B}}$ █████████ a ███████████ ████████ do █████ █████ de ${\hat {B}}$ à █████ de seu █████████ com o ████████████: ${\frac {d\langle {\hat {B}}\rangle }{dt}}={\frac {i}{\hbar }}\langle [{\hat {H}},{\hat {B}}]\rangle$ O █████ de $\langle [{\hat {H}},{\hat {B}}]\rangle$ é █████ ███████████ na ███████ de █████████ de █████████ para o ████████ de ███████ ${\hat {H}}$ e ${\hat {B}}$ : $\sigma _{H}\sigma _{B}\geq \left|{\frac {1}{2i}}\langle [{\hat {H}},{\hat {B}}]\rangle \right|$ █████ $\sigma _{H}{\frac {\sigma _{B}}{\left|{\frac {d\langle {\hat {B}}\rangle }{dt}}\right|}}\geq {\frac {\hbar }{2}}$ (██████ que o ███████████ ███ █████████ de ████). ██████ este ████ um █████████ █████████, ele ███████ do ██████████ █████████ e que os ███████ $\sigma _{H}$ e $\sigma _{B}$ █████ ██████████ para um ██████ ██████████. ███████████ $\Delta E\equiv \sigma _{E}$ e o █████ ██████████████ $\tau _{B}\equiv {\frac {\sigma _{B}}{\left|{\frac {d\langle {\hat {B}}\rangle }{dt}}\right|}}$ ███████ uma ███████ do ███ ███████-█████ $\Delta E\tau _{B}\geq {\frac {\hbar }{2}}$ . ██████ $\tau _{B}$ █████ a ████████ do █████, ele é █████████ do █████████ de █████ █ que █████ na ███████ de ███████████. Este $\tau _{B}$ pode ser ████████████ como o █████ para o qual o █████ ████████ do ██████████, $\langle {\hat {B}}\rangle$ , ████ por uma ██████████ █████ a um ██████ ██████. ████████:

O █████ em que uma █████████ ████████ █████ █████ por um █████ no ██████ é mais ███████, ████ a ███████ do ██████ é ██████████ de █████ mais ███████: $\Delta T=\hbar /2\Delta E$ . Como a █████████ ████████ está ███████████ à █████████ da ███████ da █████████ e a █████████ da ███████ está ███████████ à █████████ do ███████, essa ███████ está ███████████ ███████████ à █████████ do ███ ███████-███████.
Uma █████████ █████, um ████████ █████-███████ de ██████ ████████████ a ███████ e ████████, tem uma ████ ████ de ██^−██ █, █████ sua █████ ███████████ à ███████ ██████, ████ ███/█^█, █████ em ±███ ███/█^█; essa ████████ é ██████████ e ███ é ███████ por █████ de ███████.
████ ███████ de ███████ $\psi _{1,2}$ com ████████ $E_{1,2}$ , ███████████ para █████ um ██████ ████████

\Psi (x,t)=a\psi _{1}(x)e^{-iE_{1}t/h}+b\psi _{2}(x)e^{-iE_{2}t/h}

A █████████ de █████████████ █████ ██████ tem um █████ de █████████████ ██████████ do █████:

|\Psi (x,t)|^{2}=a^{2}|\psi _{1}(x)|^{2}+b^{2}|\psi _{2}(x)|^{2}+2ab\cos({\frac {E_{2}-E_{1}}{\hbar }}t)

O ███████ de █████████ █████ ████████████ com a █████████ de ███████:

\tau =2\pi \hbar /(E_{2}-E_{1})

████ ███████ tem um ███████████ █████████ para a █████████ de █████, de ██████ com o ██████████ e o ██████ █████.

██████ ████████ de ██████

███████ ███████████ da ██████ ████████ de ██████ ████ █████ ███████████ de ███████-████████ em seus ████████, ████████ ██████████ ████████. O ███ de █████-███████ e o █████ de ████ ██████ ██████████ ███ ████████████ pela ███████ de █████████ do ███ ███████-█████. A ███████ de um ███████ ████████ ███ é █████████ com ████████ ██████████ para ███████ seu █████████████ a uma █████ ████████ ███████. █████, a ██████████ de █████ as █████████ ████ ser ███████████ aos ████████ █████████, █████████ aquelas com muito mais ou muito █████ ███████ do que a █████ da ████████████ de ███████ ██████/█████████.

O █████████ da █████████ do ███ ███████-█████ ███ █████ ███████████████ a ███████████ de ███████; ███ ███████ que a ███████ █████ ser "██████████" do ████████, desde que ████ "█████████" ██████ de um █████ ███████ de █████. A ███████ do ████████ ███ é um █████████ ██████████ █████████ em █████ os ████████. Quando os ███████ █████████ em ██████████ de █████ muito ██████, ██ █████████ na ███████ ██████ ███████.

███████ █████████

No ████████ da ███████ █████████ o █████████ da █████████ ███████ que ███ se pode █████████ ao mesmo █████ o █████ de uma ██████ e sua ████████████ de ███████. A █████, a ████████ ████████████ ████: $\left(\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}|f(x)|^{2}\,dx\right)\left(\int _{-\infty }^{\infty }\xi ^{2}|{\hat {f}}(\xi )|^{2}\,d\xi \right)\geq {\frac {\|f\|_{2}^{4}}{16\pi ^{2}}}$ ██████ █████████████ de █████████ ██████████, █████████ a █████████ █████████ █████, ███ ███████ entre uma ██████ █ e sua ████████████ de ███████ █: $H_{x}+H_{\xi }\geq \log(e/2)$

█████████████ de █████

No ████████ da ███████ do ███ █████ e ██████████, os ██████████ de █████████ ███ ████████ de ██████ de █████, em █████████ a ██████ █████, ou às █████ ██████ de ██████████-█████. O █████████ ██████, que ███████ do "███████ de █████████", ██████, é que uma ██████ ███ pode ser █████: ████████ no █████ e ████████ na █████ (uma ██████ e sua ████████████ de ███████ ███ █████ ███ ███████ ████████). Mais ████████████, o ███████ do ███ █████-███████ de █████ ou ███████-███████ de █████ ████████: $\sigma _{t}\cdot \sigma _{f}\geq {\frac {1}{4\pi }}\approx 0,08{\text{ ciclos}}$ onde: $\sigma _{t}$ e $\sigma _{f}$ ███ os ███████ ███████ das █████████████ de ███████ do █████ e da ██████████, ███████████████. O ██████ é ████████ para um █████ em █████ de █████ (███████ de █████) [Para a █████████ ███ ████████ (ou ████, █████████ do █████) e sua █████████ de ████████████ de ███████ ███ ████████ $\sigma _{t}\sigma _{f}=1/2\pi$ ; o ████████ █████ ████ $\sigma$ por um █████ ${\sqrt {2}}$ .] █████ ██████ █████ é o ███████ do █████ e da ██████████ na ███████ █████ da ██████ do ██████ (da ████████/███████), que para o █████████ é █████ a $2\ln 2/\pi \approx 0,44$ .

Em ██████ ████████, ███ é ████████ █████████ ███████████████ um █████ █ no ███████ do █████ e no ███████ da ██████████.

Quando ████████ a ███████, o █████████ ███████ que ███ é ████████ ███████████████ ███████ uma ████ █████████ ████████ e uma ███ █████████ de ██████████ ao mesmo █████; um ███████ ████████ ███ os █████████ de █████████ da ████████████ de ███████ de █████ ███████ — se ███████ uma ██████ █████, █████████ ███ █████████ de ██████████ em ██████████ da █████████ ████████, ████████ uma ██████ ████████ tem o ██████ ██████.

████████ ████████████ ███ ██████████ █████████████ mais ████████ e, na ███████ do ███ █████-██████████, em ███ de ███████████ os ████████ de █████ e ██████████ (██████████████) █████████████, ██████████-se o ██████ como um ██████ ████████ no ███████ de uma ██████ no █████ do ███ █████-██████████ (█████████████). Na ███████, o ██████ de █████ ██████ a █████████ ██████████ do ███ █████-██████████ que se pode █████ sem █████████████; é ████████ █████ uma █████████ mais ████, mas ao █████ de ██████████ ███████████ do █████ ████████████ ███ com os ██████.

Como █████████, para ████████ ██████ onde os ███████████ ███ ███████████, a ████████████ de ███████ (███████) é ██████████████ █████ em ███ da de ███████.

████████████ ████████ de ███████

████ $\left\{\mathbf {x_{n}} \right\}:=x_{0},x_{1},\ldots ,x_{N-1}$ uma █████████ de ███████ █████████ █ e $\left\{\mathbf {X_{k}} \right\}:=X_{0},X_{1},\ldots ,X_{N-1},$ sua ████████████ ████████ de ███████.

██████ por $\|x\|_{0}$ o ██████ de █████████ ██████████ de ████ na █████████ de █████ $x_{0},x_{1},\ldots ,x_{N-1}$ e por $\|X\|_{0}$ o ██████ de █████████ ██████████ de ████ na █████████ de ██████████ $X_{0},X_{1},\ldots ,X_{N-1}$ . █████: $\|x\|_{0}\cdot \|X\|_{0}\geq N$ Essa ████████████ é █████████, com █████████ █████████ quando █ ou █ é uma █████ de █████, ou mais ██████████ quando █ é um ████████ █████████ de ████ de um █████ de █████ █████████ em um ████████ de ████████ ██████ █ (█████ ████, █ ██████ é um █████ de █████ █████████ em um ████████ ████████████, e ████-█████).

De █████ mais █████, se █ e █ ███ ████████████ dos ████████ ██████ █, █████ $L_{T},R_{W}:\ell ^{2}(\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} )\to \ell ^{2}(\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} )$ ███████ o ████████ de █████████ de █████ e os ██████████ de █████████ de █████, ███████████████. █████: $\|L_{T}R_{W}\|^{2}\leq {\frac {|T||W|}{|G|}}$ onde a █████ é a █████ de ████████ de ██████████ no ██████ de ███████ $\ell ^{2}(\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} )$ de ███████ nos ████████ ██████ █. Essa ████████████ tem ███████████ para a ████████████ do █████.

Quando █ é um ██████ █████, uma ████████████ mais █████ se ██████: $\|x\|_{0}+\|X\|_{0}\geq N+1$

██████████ por ███████ ███, essa ████████████ ██████ é █████████.

███████ de █████████

██████–████████ e o ███████ de █████████ ██████████████ █████ que o ████████ de ██████ onde █ é █████████ de ████ e o ████████ de ██████ onde █ é █████████ de ████ ███ █████ ser █████ ████████.

███████████████, é ██████████ para uma ██████ █ em █^█(█) e sua ████████████ de ███████ █ █████ █████ ██████████ em █████████ de ██████ de ████████ ██████. Uma ██████ mais ████████████ é: $\|f\|_{L^{2}(\mathbf {R} ^{d})}\leq Ce^{C|S||\Sigma |}{\bigl (}\|f\|_{L^{2}(S^{c})}+\|{\hat {f}}\|_{L^{2}(\Sigma ^{c})}{\bigr )}~$ ██████-se que o █████ ██^{█|█||█|} █████ ser ███████████ por ██^{█(|█||█|)^█/█}, que ██ é █████████ se █ ou █ █████ ████████.

█████████ da █████████ de █████

O ██████████ █. █. █████ ████████ o ████████ █████████ da █████████: ███ é ████████ que █ e █ █████ █████ "████████████ muito ███████████". ███████████████, se █ em $L^{2}(\mathbb {R} )$ é ███ que: $|f(x)|\leq C(1+|x|)^{N}e^{-a\pi x^{2}}$ e $|{\hat {f}}(\xi )|\leq C(1+|\xi |)^{N}e^{-b\pi \xi ^{2}}$ ( $C>0,N$ um ███████), █████, se ██ > █, █ = █, ████████ se ██ = █, █████ ██████ um █████████ █ de ████ ≤ █ ███ que: $f(x)=P(x)e^{-a\pi x^{2}}$ Isto foi ██████████████ █████████ da ████████ █████: se $f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{d})$ é ███ que: $\int _{\mathbb {R} ^{d}}\int _{\mathbb {R} ^{d}}|f(x)||{\hat {f}}(\xi )|{\frac {e^{\pi |\langle x,\xi \rangle |}}{(1+|x|+|\xi |)^{N}}}\,dx\,d\xi <+\infty ~$ █████: $f(x)=P(x)e^{-\pi \langle Ax,x\rangle }~$ onde █ é um █████████ de ████ (█ − █)/█ e A é uma ██████ ████ █ × █ ████████ ████████.

Este █████████ foi █████████ nas █████ █████████ de ████████ sem █████ e ███████ em █████████ (o ████ $d=1,N=0$ ) e ██████, ███████ e ██████ para o ████ █████. ████ que a ██████ de █████████-████████ ███████ o ████ ██ > █ no ███████ de █████ ████████ a ██████ de ██████-███████-██████ █████ a █████ █████ do ███████ de █████. Uma █████ █████████ do ███████ de ████████ ███████ no ███████ de █████████ ████████ na ███.

Uma █████████ ████████ do ████ ██ < █ █████ como a ████████ ████████ para █████████████ de ██████ de ████████ ███████ na ███.

███████ — Se uma ████████████ █████████ $f\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{d})$ é ███ que: $e^{\pi |x|^{2}}f\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{d})$ e $e^{\pi |\xi |^{2}}{\hat {f}}\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{d})~$ █████: $f(x)=P(x)e^{-\pi \langle Ax,x\rangle }~$ para █████ █████████ ███████████ █ e ██████ ████ ████████ ████████ A do ████ █ × █.

████████ de █████████ ██████████

██████ de ██████████

Na ██████████ ████████, e █████████████ na ███████████████, o ██████ de ██████████ é a ████ █████ na qual a ████████ de uma ███████ pode ser ██████████ com a ███████ █████ na ███████. ███████████, esta é a ███████ de uma ████ (████████ a um █████ de um ███████ de █████) e a ███████ é ████ pelo ██████ de ██████ ██████ em um ██████████████. ██████ ██████ ███████ ███ ████████ o ██████ de ██████████, isso ███████ █████████ sobre a █████████ do ███████ de █████████████. █████████████ ████████, o ██████ de ██████████ é uma ████████████ dos ██████████ ███████ da ████████ ████████ e ███ pode ser ████████, ██████ o ██████ █████ de ██████████ █████ ser ████████.

█████ ████████████ e ████████████

As █████████████ █████ █████ na ██████████ ███████████ de ███████████ █████████████ pelo ██████ ██████ $\sigma$ . A ██████ ████████ de ██████████, no ███████, ██████ ███████ com o ████ ███████████, uma ███████████ do ███████ ████████ █████████ pelo ████████ de ███████, ou ████, um ██████ de ██████████.

Se █████████ $\varepsilon _{A}$ ███████████ o ████ (ou ████, a ██████████) de uma ███████ de um ██████████ A e $\eta _{B}$ a ███████████ █████████ em uma ███████ ███████████ da ████████ █████████ █ pela ███████ ████████ de A, █████ a ████████████ ████████ por ███████ █████ — ██████████ █████, █████ ████████████ e ████████████ — é ██████:

$\varepsilon _{A}\,\eta _{B}+\varepsilon _{A}\,\sigma _{B}+\sigma _{A}\,\eta _{B}\,\geq \,{\frac {1}{2}}\,\left|{\Bigl \langle }{\bigl [}{\hat {A}},{\hat {B}}{\bigr ]}{\Bigr \rangle }\right|$

O █████████ da █████████ de ██████████, como █████████████ ████████ na ██████████ de ████, ████████ ██████ o ████████ █████ da ████████████ de █████, em ███████ ao ████ ███████████. ██████ a ███████ █████ para █████████ o ██████ de ████/███████████ de ████████ ███████████ (████████ A, depois █), ele ███████ ser ███████ como:

$\varepsilon _{A}\,\eta _{B}\,\geq \,{\frac {1}{2}}\,\left|{\Bigl \langle }{\bigl [}{\hat {A}},{\hat {B}}{\bigr ]}{\Bigr \rangle }\right|$

A █████████ ██████ da ███████ de ██████████ é ████████, mas está █████ de ser █████████. Ela ███ foi ████████ por ██████████, mas █████████ de █████ ███████████████ ███████████ ██████ nos ███████ ████. ████ █████, ████-se █████████ que a ██████████ de ██████████ ███ ████ em ████████████ os █████ ████████████ ███████████ $\sigma _{A}$ e $\sigma _{B}$ . ██ ██████████ █████████████ ██████████ de que a █████████ ████████ █████ ███ pode ser ████████ ██████ pelo █████ de ██████████, mas ██████ a ████████ de █████ os ████ ██████ da ████████████ de █████.

██████ o mesmo ██████████, ██████ é ████████ ██████████ o █████ ████ de ████████ ██████, ██████████████ ██████████ com a ████████, a █████, o ████ de ████████ ███████████ (A e █ ao mesmo █████):

$\varepsilon _{A}\,\varepsilon _{B}\,\geq \,{\frac {1}{2}}\,\left|{\Bigl \langle }{\bigl [}{\hat {A}},{\hat {B}}{\bigr ]}{\Bigr \rangle }\right|$

As ████ ████████ ███████████ em A e █ ███████████████ ███ ███ ███████ ou ███ ██████.

██████ é ████████ ███████ uma ███████ de █████████ que, como a de █████, ███████ os ███████████ de █████ os █████ (███████████ e ███████████), mas ██████ uma █████ muito ███████ da ████████████ ████████ de ██████████. ███████████ █████████:

$\sigma _{A}\,\sigma _{B}\,\geq \,{\frac {1}{2}}\,\left|{\Bigl \langle }{\bigl [}{\hat {A}},{\hat {B}}{\bigr ]}{\Bigr \rangle }\right|$

e ████████ de █████, ███████: $\varepsilon _{A}\eta _{B}+\varepsilon _{A}\,\sigma _{B}+\sigma _{A}\,\eta _{B}+\sigma _{A}\sigma _{B}\geq \left|{\Bigl \langle }{\bigl [}{\hat {A}},{\hat {B}}{\bigr ]}{\Bigr \rangle }\right|$ Os ██████ ██████ █████ ser ████████ como: $(\varepsilon _{A}+\sigma _{A})\,(\eta _{B}+\sigma _{B})\,\geq \,\left|{\Bigl \langle }{\bigl [}{\hat {A}},{\hat {B}}{\bigr ]}{\Bigr \rangle }\right|$ █████████: ${\bar {\varepsilon }}_{A}\,\equiv \,(\varepsilon _{A}+\sigma _{A})$ como a ██████████ nos ███████ ███████ da ████████ A e: ${\bar {\eta }}_{B}\,\equiv \,(\eta _{B}+\sigma _{B})$ como a █████████ ██████████ na ████████ █████████ █, █████ ████████ ███████████ uma ███████ de █████████ ██████████ à ████████ de ██████████, mas ██████ █████ para █████ ████████████ ██████ para █████ ████████████:

${\bar {\varepsilon }}_{A}\,{\bar {\eta }}_{B}\,\geq \,\left|{\Bigl \langle }{\bigl [}{\hat {A}},{\hat {B}}{\bigr ]}{\Bigr \rangle }\right|$

█████████ da █████████ █████████ ████████

Para ██████ █████████████, o ██████ ██████ ███ é uma ███████ ███████████████ ███████ de ███████████ a █████████. Por ███████, ████████ de █████████ nas quais um dos ███████████ é um ██████ tem █████ ███████████ ██████ para ██████████ ███████ que um ███████. ██████ ████████ ███████ █████████████ █████████ ████████ ou █████████████ █████████ com █████████ ██████████.

Uma ███████ que ██████ esses █████████ é uma █████████ ███████ na █████████ █████████ em ███ do ███████ de ██████████. Ao ████████ a █████████████ de muitos ██████ da ████████ ████████ em ████, ████ ███████ ███ ███████████ uma ████████ mais █████ do █████████ da █████████ ███████ na ███████ █████████. Essa ██████████, ██████ ████████ por █. █. █████████ e ██████████ em ████ por █. ███████ e por ███ ██████████-██████ e █████ █████████ é que, para ████ █████ de █████████████ de ███████ ████████████ e █████████████ █(a) e █(█) onde:

f(a)=\int _{-\infty }^{\infty }g(b)\ e^{2\pi iab}\,db

\,\,\,g(b)=\int _{-\infty }^{\infty }f(a)\ e^{-2\pi iab}\,da

as █████████ de ██████████ de ███████ $H_{a}=-\int _{-\infty }^{\infty }|f(a)|^{2}\log |f(a)|^{2}\,da,$ e $H_{b}=-\int _{-\infty }^{\infty }|g(b)|^{2}\log |g(b)|^{2}\,db$ █████ ████████ à ████████ █████████:

$H_{a}+H_{b}\geq \log(e/2)$

onde o ██████████ █████ █████ em ████████ ████.

As ███████ de ████████████ de █████████████ ██████████ à ██████ de ████ de ███████ █(█) e à ██████ de ████ de ███████ █(█) têm █████████ de ███████████ e ███████ ████████, ███████████████, mas as █████████ █████ ser ████████ █████████████ por: $H_{x}=-\int |\psi (x)|^{2}\ln \left(x_{0}\,|\psi (x)|^{2}\right)dx=-\left\langle \ln \left(x_{0}\,\left|\psi (x)\right|^{2}\right)\right\rangle$ $H_{p}=-\int |\varphi (p)|^{2}\ln(p_{0}\,|\varphi (p)|^{2})\,dp=-\left\langle \ln(p_{0}\left|\varphi (p)\right|^{2})\right\rangle$ onde █_█ e █_█ ███ █████ ███████████ e ███████ ██████████ ███████████████, ███████████████, que ██████ os ██████████ dos ██████████ █████████████. ████ que as █████████ █████ ███████ ██████ ██████████ ██████████. ██████ à ███████ de ████████████ de ███████ entre a ██████ de ████ de ███████ █(█) e a ██████ de ████ de ███████ █(█), a █████████ █████ pode ser ███████ para as █████████ ███████████████ como:

$H_{x}+H_{p}\geq \log \left({\frac {e\,h}{2\,x_{0}\,p_{0}}}\right)$

onde █ é a █████████ de ██████.

██████████ da ███████ do ███████ █_█ █_█, a █████████ pode ser ███████ de ██████ ████████. Se █_█ █_█ ███ █████████ para ser █, █████: $H_{x}+H_{p}\geq \log \left({\frac {e}{2}}\right)$ Se, em ███ █████, █_█ █_█ ███ █████████ como █, █████: $H_{x}+H_{p}\geq \log(e\,\pi )$ Se █_█ e █_█ █████ ██████████ para █████ a ███████ em ████████ ███████ de ████████ que ██████ █████ █████, █████: $H_{x}+H_{p}\geq \log \left({\frac {e\,h}{2}}\right)$ onde █ é ████████████ como um ██████ ████████████ █████ ao █████ da █████████ de ██████ no ███████ de ████████ █████████. ████ que essas █████████████ █████ ser ██████████ para ███████ █████████ █████████, ou ███████ de ████ em mais de uma ████████ ████████.

O █████████ da █████████ █████████ ████████ é mais ██████████ do que o █████████ da █████████ de ██████████. A ██████ das █████████████ ████████████ de ███████ ████████: $H_{x}\leq {\frac {1}{2}}\log(2e\pi \sigma _{x}^{2}/x_{0}^{2})~$ $H_{p}\leq {\frac {1}{2}}\log(2e\pi \sigma _{p}^{2}/p_{0}^{2})~$ (████████████████, do ████ de que as █████████████ ███████ █████████ a ████████ de █████ essas com uma ████ █████████), █████-se ███████████ que este █████████ de █████████ █████████ é mais █████ do que aquele ███████ em ███████-██████, ██████: $\sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}\exp \left(H_{x}+H_{p}-\log \left({\frac {e\,h}{2\,x_{0}\,p_{0}}}\right)\right)\geq {\frac {\hbar }{2}}~$ Em ██████ ████████, o █████████ da █████████ de ██████████ é uma ████████████ do █████████ da █████████ █████████ ████████, mas ███ ████-█████. ███████ ███████████ sobre essas █████████████. ████████, a ███████ da ████ e é uma ███████ de █████████ ███████ na ██████. O █████████ pode █████ ████████████████ em ████████ ████, desde que ████ ███████████ em █████ os █████ da ████████████. ███████, ██████-se de que a ████████ de ███████ foi █████, ███ a ████████ de ███ ███████ ████████. ██████████, a ████████████ ██████ ██████ a ████████████, e é a █████ ████████████ com essa ███████████, ██████ é a ████████████ de █████████████ de ████████ ██████ entre aquelas com █████████ ████.

Um ████████ de ███████ ████ uma █████████ ██████ ████████ pela █████████████ de suas █████████ ██████ em ██████████████, com a █████████████ de █████ ██████ de um dos ██████████████ ████ pela █████ de ████. ██████████████ a ████████ ████████████ mais █████, na qual os ██████████████ ███ de ███████ ████████. ████ ██ uma ██████ da █████████ ████████. ███████ o █████████████ ████ como ████████████ ███████ à ██████, com █████████████ █████ ███████ ████████████ █████████ █. A █████████████ de █████ ██████ do █████████ ██████ de ███████ ██ é: $\operatorname {P} [x_{j}]=\int _{(j-1/2)\delta x-c}^{(j+1/2)\delta x-c}|\psi (x)|^{2}\,dx$ Para ████████ esta █████████████, ███████ ███████ a ████████ de ███████ da ██████ de ████ para um ███████████ ████████ de ███████ como: $H_{x}=-\sum _{j=-\infty }^{\infty }\operatorname {P} [x_{j}]\ln \operatorname {P} [x_{j}]$ De ██████ com a █████████ █████, a ███████ de █████████ █████████ é: $H_{x}+H_{p}>\ln \left({\frac {e}{2}}\right)-\ln \left({\frac {\delta x\delta p}{h}}\right)$ ████ ███████ que ██ ██/█ é um ██████ de ██████ de ████ █████████████ ██████ █████ no ███████ de uma ██████ de ████████. A ████████████ ██████ é ███████ e ███ ████████. ████████ para ████████ esse ██████ ███ uma ████ █████ de ████████.

███████ de █████████ com ████ ███████████ de ███████ ███████

Para uma █████████ de ███████ ███████ █████ $█$ a ████████ ███████ de █████████ é ██████: $\sigma _{J_{x}}^{2}+\sigma _{J_{y}}^{2}+\sigma _{J_{z}}^{2}\geq j$ onde $J_{l}$ ███ ███████████ do ███████ ███████. A ███████ pode ser ████████ a ██████ de: $\langle J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+J_{z}^{2}\rangle =j(j+1)$ e $\langle J_{x}\rangle ^{2}+\langle J_{y}\rangle ^{2}+\langle J_{z}\rangle ^{2}\leq j$ A ███████ pode ser ███████████ como: $\sigma _{J_{x}}^{2}+\sigma _{J_{y}}^{2}+F_{Q}[\varrho ,J_{z}]/4\geq j$ onde $F_{Q}[\varrho ,J_{z}]$ é a ██████████ ████████ de ██████.

████████

Em ████, ██████████ ████████ o ██████ █████████ (███████████████), onde ███████ que o ███████ ███████ da ██████ ████████ era a ███ ██████████████: a ██████ █████████ que a █████ ████████ da ███████ e da ███████ do ███████ era █████████████. ███████████ com ███ ████ e ███████ ██████, ele █████████ a ███████████ a ████████ █████████, que se ████████ a ████████ ██████████ ███████ da ████████ ████████.