███████████

Die ███████████ (████████ ███ ██████, ███████████ ███████ des █████████, ████████ ██████ ██ █████████) ist ein █████████████ ██████████ der ██████████, das sich mit der ████████████ von ██████, also von █████████████████ von ████████, ███████████. Die ███████ ██████████, wie ███ █████████████ ███████ wird, ist in der ███████ der ███████████ ██████████ und ████ auf den ███████ der ███████████ auf. Die ███████ ██████████████ ███████, die in █████████████ wie ███████, ████████, █████████, ██████████ oder █████████ █████████ werden, ██████ als ██████ █████████ werden. ████████ daran ist die ███████████ eine █████ █████ ████████████; ████ nach der ███████████ der ███████████████ der ██████████ im ██████ ██. ███████████ ██████ die ███████████ █████ ████████, █████████ und █████████████ █████ in der ██████████ █████████.

In der ██████ ███████████ ist das ███████████████ ${\displaystyle \in }$ (██████ ist ███████ von) die ███████ ██████████ █████████████. Alle ███████████████████ ████████ und ████████ werden aus ███ mit █████████ ██████████ der ███████████████ █████████.

███████████ ████████

Die ████████ einer █████ werden durch die ██████████████ { und } zu einem ██████, der █████, ███████████████.

Die █████, welche aus den █████████ ${\displaystyle x_{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}}$ bis ${\displaystyle x_n}$ ███████, ███████ das ███████ ${\displaystyle a}$ █████ dann, ████ ${\displaystyle a}$ mit einem der ${\displaystyle x_k}$ █████████████. ██████:

${\displaystyle a\in \{x_{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}},\dots ,x_n\}:⟺a=x_{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}\vee a=x_{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}\vee \cdots \vee a=x_n}$

Z. B. ist die ███████

${\displaystyle a\in \{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>},\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>},\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>},\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}\}}$

██████████ zur ███████

${\displaystyle a=\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}\vee a=\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}\vee a=\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}\vee a=\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>.}}$

█████████████ ████████

Die █████ der ${\displaystyle x}$, ███ die das ████████ ${\displaystyle P(x)}$ ████, ███████ ein ███████ ${\displaystyle a}$ █████ dann, ████ das ████████ auf ${\displaystyle a}$ ████████. ██████:

${\displaystyle a\in \{x\mid P(x)\}:⟺P(a)}$

Zu ██████ ██████████████ ████████████ ████ es auch eine ███████████ ████████:

${\displaystyle \{x\in M\mid P(x)\}:=\{x\mid (x\in M)\wedge P(x)\}}$

███ █████ auch die ████████████████

${\displaystyle \{f(x)\mid P(x)\}:=\{y\mid \mathrm{\exists }x(y=f(x)\wedge P(x))\}}$

vor, █████ mit ${\displaystyle f(x)}$ ein █████████████ ███████ ist.

████████████ der ██████████ der ██████████ von ████ ██████ █████ sich die ███████

${\displaystyle A=\{x\mid P(x)\}}$

█████ in den █████████ ████████

${\displaystyle \mathrm{\forall }x(x\in A\leftrightarrow P(x))}$

████████.

█████████

Eine █████ ${\displaystyle A}$ █████ █████████ einer █████ ${\displaystyle B}$, ████ █████ ███████ von ${\displaystyle A}$ auch ███████ von ${\displaystyle B}$ ist. ██████:

${\displaystyle A\subseteq B:⟺\mathrm{\forall }x\left(x\in A\to x\in B\right)}$ :\██████████████████ \██████ x\████(x\in A\,\██████████ x\in B\█████)}

█████ █████

Die █████, die ████ ███████ ███████, █████ █████ █████. ███ wird mit ${\displaystyle \mathrm{\varnothing }}$ oder auch ${\displaystyle \{\}}$ ██████████.

${\displaystyle A=\mathrm{\varnothing }:⟺\mathrm{\forall }x(\mathrm{\neg }x\in A)}$ :\██████████████████ \██████ x(\███ \,x\in A)}

███ die ████████ ${\displaystyle \mathrm{\neg }x\in A}$ ████████ ███ ██████ ${\displaystyle x\notin A}$.

████████████

███████ ist eine ██████████ █████ ${\displaystyle U}$ von ██████. Die ████████████ (auch ██████████████████) von ${\displaystyle U}$ ist die █████ der ███████, die in █████ ███████ von ${\displaystyle U}$ – das ist ███████ ████████ eine █████ – █████████ sind. ██████:

${\displaystyle \bigcap U:=\{x\mid \mathrm{\forall }a\in U:x\in a\}}$

████████ ███ ███████████████ ${\displaystyle U=\{A,B\}}$ ████████ ███ ${\displaystyle A\cap B=\bigcap \{A,B\}}$.

████ ${\displaystyle (A_i{)}_{i\in I}}$ eine ███████ von ██████ mit ███████████ ██████████ ${\displaystyle I}$ ist, dann ist die ████████████

${\displaystyle \bigcap _{i\in I}{A}_i:=\{x\mid \mathrm{\forall }i\in I:x\in A_i\}.}$

${\displaystyle \bigcap \mathrm{\varnothing }}$ ███. ${\displaystyle \bigcap _{i\in I}{A}_i}$ ███ ${\displaystyle I=\mathrm{\varnothing }}$ ist im ███████████ nicht █████████. ████ in einem ██████████ ███████ alle ████████████ ████████ zu einer █████████ ██████████ ${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}$ ███████ und alle ██████████ ██████ ██████████ von ${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}$ sind, ist ${\displaystyle I=\mathrm{\varnothing }}$ ████████ und es ████ ${\displaystyle \bigcap _{i\in \mathrm{\varnothing }}{A}_i=\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}$.

█████████████████

████ ist der zur ████████████ █████ ███████: Die █████████████████ einer (nicht ████████████████ ███████████) █████ ${\displaystyle U}$ von ██████ ist die █████ der ███████, die in ██████████ einem ███████ von ${\displaystyle U}$ █████████ sind. ██████:

${\displaystyle \bigcup U:=\{x\mid \mathrm{\exists }a\in U:x\in a\}}$

████████ ███ ███████████████ ${\displaystyle U=\{A,B\}}$ ████████ ███ ${\displaystyle A\cup B=\bigcup \{A,B\}}$.

████ ${\displaystyle (A_i{)}_{i\in I}}$ eine ███████ von ██████ mit ██████████ ${\displaystyle I}$ ist, dann ist die █████████████████

${\displaystyle \bigcup _{i\in I}{A}_i:=\{x\mid \mathrm{\exists }i\in I:x\in A_i\}.}$

██████████ von ██████

████ ██████ ██████ ██████, ████ ███ █████████ ████████ █████████.

█████ ██████████ ██████████ die ███████████████ und damit die ████████████ ███████████ von ██████. ██████:

${\displaystyle A=B:⟺\mathrm{\forall }x\left(x\in A\leftrightarrow x\in B\right)}$

█████████ und ██████████

Die ███████ der ██████████████ wird ███ █████████ ██████ ██████ █████████:

Die ██████████████ (auch █████████) von ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ (█████████████████ auch A ohne B, s. ███.) ist die █████ der ████████, die in ${\displaystyle A}$, aber nicht in ${\displaystyle B}$ █████████ sind. ██████:

${\displaystyle A\setminus B:=\{x\mid \left(x\in A\right)\wedge \left(x\notin B\right)\}}$

███ █████ █████ ██████████████ auch ██████████ von B in █████ auf A.

█████ ███ █████ █████████████ █████████ einer ██████████ X durch, so hat ███ ████ die █████████████████ von ${\displaystyle B}$ (█████████ X), also

${\displaystyle B^{\complement }:=X\setminus B}$

und dabei hat ███ ${\displaystyle A\setminus B=A\cap B^{\complement }}$. ██████ A mit ██████ ██████████ █████████████ und damit B eine █████████ von A ist, dann ████ ██████ ${\displaystyle A\setminus B=B^{\complement }}$.

████████████ █████████

Die ████████████ █████████ ██████ sich ███████ █████████ der ████████████████:

${\displaystyle A\mathrm{△}B:=\{x\mid \left(x\in A\wedge x\notin B\right)\vee \left(x\in B\wedge x\notin A\right)\}=(A\cup B)\setminus (A\cap B)=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)}$

███████████

Die ███████████ ${\displaystyle \mathcal{P}(A)}$ einer █████ ${\displaystyle A}$ ist die █████ aller ██████████ von ${\displaystyle A}$:

${\displaystyle \mathcal{P}(A):=\{X\mid X\subseteq A\}}$

Die ███████████ einer █████ ${\displaystyle A}$ ███████ █████ die █████ █████ und die █████ ${\displaystyle A}$ ██████. █████ ist ${\displaystyle \mathcal{P}(\mathrm{\varnothing })=\{\mathrm{\varnothing }\}}$, also eine █████████████ █████.