█████ (██████████)

██████████

Die ████ eines ██████████████ ████ ████████████ auf ███████ ███████ (████–████) ██████, welcher sich ████ zum ████ ██████, die ██████████ auf ein ████ ███████████████████████ █████████ zu ███████ (███████ der bis █████ ████████ ███████████). In ██████████████ mit █████ ███████ ███████████ er gegen Ende der ██████ █████ ███████████ die ██████ ███ einen ██████████████. ██████ ist, ███████████ ██████, eine ███ █████████ (█████████ ██████████), in dem es ███████ ist, ██████████ zu █████████. Ein ██████████████ ███████ ████████ ████████, um darin einen ██████████ █████████████ zu ██████████ und damit ██████████ und █████ zu █████████. ████████████ ███████ ein ██████████████ eine ██████████ ███████ █████, welche nicht █████████ █████████ sein ████.

██████████

Ein ██████████████ ist eine █████████ ${\displaystyle \mathcal{E}}$ mit

• (a) einem ████████ ███ █████ ████████ ${\displaystyle A\to X\leftarrow B}$;
• (b) einem ██████████ ██████ ${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}$;
• (c) einem ██████ ${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}$, ███████ der ███████████-██████████████ (████████ von ████. █████████ ██████████) und einem ██████████████ ${\displaystyle \mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{u}\mathrm{e}:\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}\rightarrowtail \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}$, ██████ ███ █████ ██████████████ ${\displaystyle m:A\rightarrowtail B}$ ein ███████████ █████ ${\displaystyle {\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}_m:B\to \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}$ (███████ der █████████ von ${\displaystyle m}$) █████████, ██████ █████████ ████████ ein ████████ ist:

█████ ████ ${\displaystyle !:A\to \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}$ !\█████ A\██ █} den ███████████ █████ von ${\displaystyle A}$ ins ██████████████ ${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}$ █████████;

• (d) einem ███████████ ${\displaystyle C^A}$ mit ███████████ ███████████-█████ ${\displaystyle {\mathrm{e}\mathrm{v}}_{C,A}:C^A\times A\to C}$ ███ je ████ ███████ ${\displaystyle A,C}$, mit der ████████████ ███████████, dass ███ █████ ██████ ${\displaystyle B}$ und █████ █████ ${\displaystyle f:B\times A\to C}$ █████ ein █████ ${\displaystyle f^{\prime }:B\to C^A}$ █████████, ██████ █████████ ████████ ██████████:

█████ ${\displaystyle {\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}_A:A\to A}$ den ███████████████ von ${\displaystyle A}$ █████████.

Die █████████████ (a) und (b) ██████ sich ████ ██████████████, indem ███ ████, ${\displaystyle \mathcal{E}}$ sei endlich ███████████ (d. █., alle █████████ ███████ ██████████). Die █████████████ (c) und (d) ████████ im ██████ ██████ ██████ █████████ und ████████ zu sein, sind ██████ beide durch die █████████ ${\displaystyle \mathbf{S}\mathbf{e}\mathbf{t}\mathbf{s}}$ aller ██████ █████████. ██████ ████████ ███ ███ ███ (d), dass der ███████ ${\displaystyle -\times A:\mathcal{E}\to \mathcal{E}}$ ███ alle ${\displaystyle A}$ einen ██████████████████ (█████ mit ${\displaystyle (-{)}^A}$ ██████████) ███████.

Die █████████████ ██████████ eines ██████████████ ████████ auch die █████████, dass ██████ endlich ██-███████████ sein ████ (d. █., dass alle █████████ █████████ ██████████). █████ █████████ █████ ██████ aus den ███████, nach einem nicht-█████████ ████████ von █████████.

██████████████ als ███████████ der █████████ aller ██████

Wie █████ ██████, ██████ mit █████ der ████████████ ein ███████████████████████ █████████ ███ die ██████████ ██████ werden. ████ ████████ ████████████, dass die █████████ ${\displaystyle \mathbf{S}\mathbf{e}\mathbf{t}\mathbf{s}}$ aller ██████ dadurch ███████████ werden ████. ████████████ ist ████ ████ auch das ██████████ ████████, ███ die ██████████ der █████████████ ████████ der ████████████ ██████. In ${\displaystyle \mathbf{S}\mathbf{e}\mathbf{t}\mathbf{s}}$ ist ${\displaystyle C^A=\{f:A\to C\}}$ ████████ die █████ aller ███████████ von ${\displaystyle A}$ nach ${\displaystyle C}$ und ████████████ ${\displaystyle {\mathrm{e}\mathrm{v}}_{C,A}:C^A\times A\to C,(f,a)\mapsto f(a)}$. ██████ ist ${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}=\{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>},\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}\}=\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}$ (███ ███████, dass ████ ${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}$ als ██████ ███████████ zu █████████ ist), ${\displaystyle \mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{u}\mathrm{e}:\{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}\}\to \{\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>},\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}\},\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}\mapsto \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}$ :\{█\}\██ \{█,█\},█\██████ █} und die ███████ █████████████████ ████████ von ${\displaystyle A}$ als █████████ von ${\displaystyle B}$.

Die ███████████, dass ${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}$ ███ ████ ████████ ███████, ████████, dass es sich bei ${\displaystyle \mathbf{S}\mathbf{e}\mathbf{t}\mathbf{s}}$ um einen ███████████ ██████████ █████ ███████, und ██████ ist █████████ ███ die ██████████ ██████████ (█████████ im █████ von nicht-████████████████).

Um ${\displaystyle \mathbf{S}\mathbf{e}\mathbf{t}\mathbf{s}}$ ████████ █████████ ███████████ ██████████████ █████████████, werden ██████████ die █████████ ██████ █████████:

• Es ████ ein █████████████ ${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}\ncong \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}$ (████████████████).
• Sind ${\displaystyle f,g:X\to Y}$ ██████, so ist ${\displaystyle f=g}$ oder es █████████ ein ${\displaystyle x:\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}\to X}$ mit ${\displaystyle f\circ x\ne g\circ x}$ (█████████████████).
• Es ████ ein ██████ ███████████ ██████, d. █. ein ██████ ${\displaystyle N}$ ████████ mit ███████

${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}\stackrel{z}{⟶}N\stackrel{s}{⟶}N,}$

██████ ███ █████ ██████ ${\displaystyle X}$ mit ███████ ${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}\stackrel{x}{⟶}X\stackrel{f}{⟶}X}$ ein █████████ ██████████ █████ ${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}:N\to X}$ █████████ mit ${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}\circ z=x}$ und ${\displaystyle \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}\circ s=f\circ \mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}$.

• ███ █████ █████████████ ${\displaystyle e:X\to Y}$ █████████ ein █████ ${\displaystyle m:Y\to X}$ mit ${\displaystyle e\circ m={\mathrm{<span\; word-length="1"\; class="word\; redacted">█</span>}}_Y}$ (████████████).