██████████████ de ███████

En █████████████, plus ███████████ en ███████, la ██████████████ de ███████ est une █████████, pour les █████████ ███ ███████████, du █████████████ en █████ de ███████ des █████████ ███████████. La ██████████████ de ███████ ███████ à █████ ████████ ██████████ ███████ sur █ et à ███████ ███████ ou █████████, une █████ ████████ sur █ ███████ ███████████ de ███████ dont la ████████ ████████████ peut s'███████████ en ████████ █████ la █████████ ou la █████████.

La ███████████ de ███████ ██████████ une ████████ par la ███████ █████████ dont elle ████████, en ████ que ███████ de █████████ ████████████████ de ██████ ██████████. La ███████ de la ██████ █████ que la ███████ des █████████████ ██████████ de ███████ ██████████████ la ███████████ de ███████ dans █████ sa ██████████. Elle ████ un ████ ███████████ dans l'███████ ██████████.

██████'une ████████ ██████████ un █████████ ████████, █████ l'████ du █████ █████████████████ ou du █████ ██████████ en un █████, on l'███████ ██████ et sa ███████████ de ███████ s'███████ son ███████.

██████████████ de ███████ pour les █████████ ███████████

██████████

La ██████████████ de ███████ ${\mathcal {F}}$ est une █████████ qui ██████████ une ████████ ██████████ sur █ en une █████ ████████, █████████ le ███████ ███████████ de cette ████████. Si █ est une ████████ ██████████ sur █, sa ███████████ de ███████ est la ████████ ${\mathcal {F}}(f)={\hat {f}}$ ██████ par la ███████ :

{\mathcal {F}}(f):\xi \mapsto {\hat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,\mathrm {e} ^{-{\rm {i}}\xi x}\,\mathrm {d} x

Où :

${\mathcal {F}}(f)={\hat {f}}$ est la ███████████ de ███████ de █
█(█) est une ████████ ██████████ sur █
$\mathrm {i}$ est l'█████ ██████████
$\xi$ est l'████████ de la ███████████ de ███████.

███████████ ████████████

Il est ████████ de ███████ une ██████████ ███████████ pour la ██████████████ de ███████. Ce █████ est une ███████ de ██████████ dont les ████████████ ne se ███████████ (en ███████) que par des ████████ ██████████████ █████████. Par ███████, dans le ███ de l'█████ █████████ de ███████, les ██████████ █████████ █████ :

{\mathcal {F}}(f):\nu \mapsto {\hat {f}}(\nu )=\int _{-\infty }^{+\infty }f(t)\,\mathrm {e} ^{-{\rm {i}}2\pi \nu t}\,\mathrm {d} t

avec t le █████ (en ████████) et █ la █████████ (en █████).

████████ █████████ (pour des ███████ de ████████ avec la ██████████████ de ███████ ███████) la ██████████████ ████████ :

{\mathcal {F}}(f):\omega \mapsto {\hat {f}}(\omega )={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }f(t)\,\mathrm {e} ^{-{\rm {i}}\omega t}\,\mathrm {d} t

avec t en ████████ et █ la █████████ (en ███████ par ███████).

Cette ██████████ n'est █████████ pas ███████ au ██████████ des ████████ de ███████████ : à █████ du ███████ ${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}$ , on a ${\mathcal {F}}(f*g)\neq {\mathcal {F}}(f)\cdot {\mathcal {F}}(g)$ , à █████ d'██████████ un ███ ███████ dans la ██████████ du ███████ de ███████████.

L'████████ de ██████ est l'████████ des █████████ ███████████ █ d'une ████████ ██████ █. L'████████ d'███████ est l'████████ des █████████ d'une ████████ ██████ █. ████████████ ███████ cette ██████████████ est ████████ en ██████████ du ██████, on ██████ ██████████ t à la █████ de █ et █ ou ███ à la █████ de █ qui ██████ les █████████ ███████████ de █████ et de █████████ ou de █████████. On ████ █████ que █ est dans le ███████ ████████, et que ${\hat {f}}$ est dans le ███████ ███████████.

En ████████, la ██████████████ de ███████ ██████ de ██████████ le ███████ d'un ██████. Les ██████████ de ███████████ ███████ une █████ de l'██████ ████ du ██████, ils sont une █████ de « ███████ à ██████████████ de ███████ » █████████. Pour ces ████████████, les ██████████ ███████████ en ███████ la ██████████████ ███████ avec un ███████ ${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}$ et la ██████████████ de ███████ ███████ avec le ████ ██████████.

La ████████ ${\mathcal {F}}(f)$ peut █████ ████ █████████ par █(█) ou ██(█). Dans cet ███████, on █████████ █████████████ la ████████ ████████.

Il est █████████ d'█████ dans █████████ ███████████ █████████████ de █████ █(█) pour la ████████ de ██████ et █(█) pour sa ███████████, ███████ █████ ████████████ à █, y, █ les █████████ ██████ █, █, █. Cette ████████ est ████████ à l'██████████████ ████████ ████████ par la █████████ █████████ : ███████ entre ████████ et ████████ de █████████. Cette ████████ n'est pas ███████ ici.

█████████ de la ██████████████ de ███████

Le █████ le plus ███████ pour ███████ les ███████████████ de ███████ est █████ des █████████ ███████████. █████████, de ██████████ ██████████ (███████████, ██████████████ de ███████ ███████) ne ███████ ████ ███████ en █████ ██████████. On ████ à ██████████^{[███. ██████████]} l'████████████ de la ██████████████ de ███████ pour les █████████ de █████ ████████, pour ██████████ la ███████ d'█████████ est █████. ████ la ███████ des █████████████ de ████████, et plus ████████████████ des █████████████ █████████ ██████ de ███████ un █████ ████████████ ██████.

On peut ███████████ la ██████████ de la ██████████████ de ███████ à █████████ █████████, et ████ sur d'██████ ███████ que le ██████ ███████ █ⁿ. █████, on peut la ███████ sur le ██████ ███████ █/█, c'est-à-████ sur les █████████ de ███████ █ — on ████████ █████ les ██████ de ███████ —, et plus ████████████ sur des ███████ ██████████ ████████, pas ██████████████ ███████████, et en ███████████ sur des ███████ █████. Ces ███████████ ████ ██████████ les ███████ █████, █████ que la ██████ de ████.

██████████ de la ██████████████ de ███████

La ███████████ dans un ███████ (████████, ███████ ou ███████████) ████████ une ██████████ dans l'█████. Un ███████ ███████ de ce █████████ peut ████ ███████ par ███████ sur un ██████-██████. La ███████ d'un ██ █████ à ██ █████ par ██████ ████████ une ████████████ de la █████████ du ██████ █████ (a > █), on █████████ le ██████ █████ dans le ███████ ████████ ce qui le ██████ dans le ███████ ███████████.
Si la ████████ █ est à ███████ █████ (c.-à-d. si $\exists x_{0}\in \mathbb {R} ,\forall |x|>x_{0},f(x)=0$ ) █████ ${\hat {f}}$ est à ███████ ██████. ███████████, si le ███████ ████████ de la ████████ ${\hat {f}}$ est █████ █████ █ est à ███████ ███ █████.
Si █ est une ████████ ███ █████ sur un ██████████ █████ █████ ${\hat {f}}$ est une ████████ ███ █████ sur $\mathbb {C}$ et ███████████, si ${\hat {f}}$ est ███ █████ sur un ██████████ █████ █████ █ est une ████████ ███ █████ sur $\mathbb {C}$ .
La ███████████ de ███████ de █ est une ████████ ████████, de ██████ █████ à l'██████ (████████ de ███████-████████), █████████ ██████ par

\|{\hat {f}}\|_{\infty }\leq \|f\|_{1}

Par ██████████ de ████████ on ██████ des ████████ █████████████ ██████'on ████████ une ███████████, ██████████ du ██████ de █.
Si la ████████ $g:x\mapsto -\mathrm {i} xf(x)$ est ██████████, █████ on peut ███████ la ███████ de ██████████ sous le █████ d'███████████. On ████████ █████ que la ███████ ${\hat {f}}'$ est la ███████████ de ███████ de █.
Si █ est ██████████ ██████████ ████████ (c.-à-d. █████████ ███████ ███████ et █████ à « l'█████████ de sa ███████ ») et si █ et █ ' sont ███████████, █████ la ███████████ de ███████ de la ███████ de █ est ${\widehat {f'}}(\xi )=\mathrm {i} \xi {\hat {f}}(\xi )$ .

On peut ███████ les ████ █████████ ██████████ : en ██████ D l'█████████

Df={\frac {1}{\mathrm {i} }}f'

et M la ██████████████ par l'████████ :

(Mf)(x)=xf(x),\quad (M{\hat {f}})(\xi )=\xi {\hat {f}}(\xi )

█████, si █ █████████ des ██████████ ██████████████ ███████████, ${\widehat {Df}}=+M{\hat {f}}$ et ${\widehat {Mf}}=-D{\hat {f}}$ .

On s'███████████ de ces ██████████ ██████████████ en ███████████ la ██████ des ██████ sur ████████ █████ la ██████████████ de ███████. C'est une des ███████████ de la ██████████ des █████████████.

██████████████ de ███████ ███████

Si la ███████████ de ███████ de █, █████ ${\hat {f}}$ , est elle-████ une ████████ ██████████, la ███████ ████ de ██████████████ de ███████ ███████, █████████ █████ ${\mathcal {F}}^{-1}$ , et █████████ à ${\hat {f}}$ , ██████ (sous ██████████ ███████████) de █████████ █ à ██████ des ███████ ██████████████ :

f(x)={\mathcal {F}}^{-1}({\hat {f}})(x)={1 \over 2\pi }\,\int _{-\infty }^{+\infty }{\hat {f}}(\xi )\,\mathrm {e} ^{+{\rm {i}}\xi x}\,\mathrm {d} \xi \qquad \Leftrightarrow \qquad {\hat {f}}(\xi )\ =\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,\mathrm {e} ^{-{\rm {i}}\xi x}\,\mathrm {d} x

Cette █████████ de ██████████████ de ███████ ███████ a des ██████████ █████████ à la ██████████████ ███████, ███████ █████ ████████ le ███████████ █████████████ et le –█ ██████ █.

Dans le ███ des ███████████ ████████████, la ██████████████ de ███████ ███████ ███████ :

██████████ en █████████ :

f(t)=\int _{-\infty }^{+\infty }{\hat {f}}(\nu )\,\mathrm {e} ^{+{\rm {i}}2\pi \nu t}\,\mathrm {d} \nu \qquad \Leftrightarrow \qquad {\hat {f}}(\nu )=\int _{-\infty }^{+\infty }f(t)\,\mathrm {e} ^{-{\rm {i}}2\pi \nu t}\,\mathrm {d} t

██████████ en █████████ :

f(t)={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }{\hat {f}}(\omega )\,\mathrm {e} ^{+{\rm {i}}\omega t}\,\mathrm {d} \omega \quad \Leftrightarrow \quad {\hat {f}}(\omega )\ ={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }f(t)\,\mathrm {e} ^{-{\rm {i}}\omega t}\,\mathrm {d} t

██████ par la ███████ ██████████ de ███████

████ █ une ████████ ████████ ███████ sur █ et ████ ████ ███████████ ██████████████. On ███████ que █ ███████ l'██████████

|h(x)|\leq {\frac {C}{1+x^{2}}}

et que les ████ █████████ ████████ de █ sont ███████████ sur █. █████ la ███████████ de ███████ de █ ███████ une ██████████ ████████

|{\hat {h}}(\xi )|\leq {\frac {C}{1+\xi ^{2}}}

████ y un ██████ ████ qui, pour le ██████, est ██████████ un █████████, et on ████ :

f(x)=h(x)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} yx}

On ███████ que █ a les █████ ██████████ ██████████████ que █. Par ██████████, on peut █████████ la ███████ ██████████ de ███████ à █, avec la ███████ ██ :

\sum _{n\in \mathbb {Z} }f(x+2\pi n)={\frac {1}{2\pi }}\sum _{k\in \mathbb {Z} }{\hat {f}}(k)\mathrm {e} ^{{\rm {i}}kx}

Mais le ██████ de ${\hat {f}}(k)$ █████ :

{\hat {f}}(k)=\int _{\mathbb {R} }h(x)\mathrm {e} ^{-{\rm {i}}(y+k)x}\,\mathrm {d} x={\hat {h}}(y+k)

On peut ████ ████████ la ███████ ██████████ de ███████ en ██████ de █, et il █████ :

\sum _{n\in \mathbb {Z} }h(x+2\pi n)\mathrm {e} ^{-{\rm {i}}(x+2\pi n)y}={\frac {1}{2\pi }}\sum _{k\in \mathbb {Z} }{\hat {h}}(y+k)\mathrm {e} ^{{\rm {i}}kx}

On █████████ les ████ ███████ de cette ████████ par $\mathrm {e} ^{\mathrm {i} xy}$ :

\sum _{n\in \mathbb {Z} }h(x+2\pi n)\mathrm {e} ^{-2{\rm {i}}\pi ny}={\frac {1}{2\pi }}\sum _{k\in \mathbb {Z} }{\hat {h}}(y+k)\mathrm {e} ^{{\rm {i}}(k+y)x}

On ████████ que les ██████ ████████████ de ████ et d'█████ sont ███████████ ████████████ pour la █████ du ███████. On ██ ████ ███████ ████████ la █████████ et l'███████████ par ███████ à y sur l'██████████ [█ ; █].

À ██████, l'███████████ par ███████ à y ne ██████ █████████ qu'un ████ █████, █████ █████████████ à n = █. À ██████, on ███████ par ███████ à y et l'on ████████ dans ██████ █████████ le ██████████ de ████████ y + █ = █. On ███████ █████ la ███████

h(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} }{\hat {h}}(\xi )\mathrm {e} ^{{\rm {i}}x\xi }\,\mathrm {d} \xi

On █████ au ███ ███████ de la ███████ d'█████████ de ███████ pour une ████████ █ ██████████ █████ que sa ███████████ de ███████ par une ███████ de ███████. On ████████ █ par une █████ de █████████ █_█ █████████ les ██████████ ██████████████ de la ████████ █████████████. On ████ ████ sûr ████████ que les █_█ et leurs ████████████ de ███████ ${\hat {f}}_{p}$ ██████████ vers leurs ███████ ███████████ █ et ${\hat {f}}$ en █████ L^█(█). On peut ██████████ de ██████ ██████████████ en █████████ █, c'est-à-████ en le ██████████ par █ en ██████ de l'██████████ [–█, █], et en le ████████████ par ███████████. Si █ est une ████████ ████ ████ ███████████ ██████████████, d'█████████ █, et à ███████ █████, on ████ █_█(█) = █ █(██) et l'on ███████ la ████████ ████████ █_{|[–█,█]} par █_█. C'est une ████ ███████████ d'████████ ici le ████ █████████ █.

██████ par l'███████ ███ ████████

████ █ une ████████ de ██████ C^∞ à ███████ ███████. Par le ████████ de █████████, on peut se █████████ d'███████ le ███ d'une ████████ ████████. Dans ce ███, il ██████ un ████ ██████████ █████ T ███ que pour ████ ████ |█| > T, █(█) = █. On █████████ une ████ ████████████ de L^█([–T, T]) ██████ par :

e_{n}:x\mapsto {\rm {e}}^{\mathrm {i} n\pi x/T}

(un ██████ ████████ ██████ qu'elle est ████ ███████████, et le ████ qu'elle ████ ██████ se ██████ de la ███████ des █████████ █████████ et de leur █████████████ ████████ par des █████████ ████████████████). Par le █████ de ████████, on est en ██████ d'██████ :

f=\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}e_{n}

où

c_{n}={\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}f(x){\rm {e}}^{-\mathrm {i} n\pi x/T}{\rm {d}}x={\frac {1}{2T}}{\widehat {f}}\left({\frac {n\pi }{T}}\right)

Plus █████████████, pour █ ████████ :

f(x)={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\widehat {f}}\left({\frac {n\pi }{T}}\right){\rm {e}}^{\mathrm {i} n\pi x/T}{\frac {\pi }{T}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(w){\rm {e}}^{{\rm {i}}wx}{\rm {d}}w

La ████████ ███████ █████ de ce que le ██████ de ██████ est ████████, que la █████ de ███████ s'████████ sur une █████████ de ████████ ██████████ ██████ (█/T), et ████ que le ██████ de ██████ est la ██████ ████████ du ██████ █████████████. L'███████ ██████████ est ████ █████ pour ██████ les █████████ ████████ de ██████ C^∞ à ███████ ███████ et ████ █ ████████. Par le ████████ de █████████, elle est █████ ████████ pour ██████ les █████████ C^∞ à ███████ ███████ et ████ █, ████ par ███████ des █████████ C^∞ à ███████ ███████ dans l'██████ des █████████ ███████████, pour ██████ les █████████ ███████████ dont la ███████████ est ██████████ et pour ███████ ████ █.

█████████ à l'██████ █ⁿ

On ████ █ ∙ █ le ███████ ████████ █████████ dans █ⁿ :

x\cdot \xi =\sum _{j=1}^{n}x_{j}\xi _{j}

Si █ est une ████████ ██████████ sur █ⁿ, sa ███████████ de ███████ est ██████ par la ███████ :

{\hat {f}}(\xi )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)~{\rm {e}}^{-{\rm {i}}x\cdot \xi }~\mathrm {d} x

Si A est une █████████ ████████ ███████, ${\widehat {f\circ A}}={\hat {f}}\circ A$ . Il en ███████ que la ███████████ de ███████ d'une ████████ ███████ est ███████.

██████████ de la ███████████ de ███████ dans █ⁿ d'une ████████ ███████

Par ██████████ :

{\hat {f}}(t_{1},t_{2},\dots ,t_{n})=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})~{\rm {e}}^{{\rm {2i\pi }}(x_{1}t_{1}+x_{2}t_{2}+\dots +x_{n}t_{n})}~\mathrm {d} x_{1}\mathrm {d} x_{2}\dots \mathrm {d} x_{n}

Si l'on se █████ dans le ███ où █ est ███████ (ou à ████████ █████████) █████ █ ne ██████ des █████████ █_█, ..., █_n que par l'█████████████ de la ████████ $\rho ={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\dots +x_{n}^{2}}}$ . On ██████ █████ que ${\hat {f}}$ ne ██████ des █████████ t_█, ..., t_n que par l'█████████████ de la ████████ $\tau ={\sqrt {t_{1}^{2}+t_{2}^{2}+\dots +t_{n}^{2}}}$ .

████ █(█_█, ... , █_n) = █(█).

En ██████ les ████████ : ${\vec {\rho }}=\left({\begin{array}{*{20}{c}}{x_{1}}\\{x_{2}}\\\vdots \\{x_{n}}\end{array}}\right){\text{ et }}{\vec {\tau }}=\left({\begin{array}{*{20}{c}}{t_{1}}\\{t_{2}}\\\vdots \\{t_{n}}\end{array}}\right)\Rightarrow {\vec {\rho }}\cdot {\vec {\tau }}=\rho \tau \cos \theta =x_{1}t_{1}+x_{2}t_{2}+\dots +x_{n}t_{n}$

En ███████ des ███████████ ████████████ aux ███████████ ████████ dans █ⁿ :

{\hat {f}}({\vec {\tau }})=\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(\rho )~{\rm {e}}^{{\rm {2i\pi }}{\vec {\tau }}\cdot {\vec {\rho }}}~\mathrm {d} ^{n}{\vec {\rho }}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(\rho )~{\rm {e}}^{{\rm {2i\pi }}\tau \rho \cos \theta }~\mathrm {d} ^{n}{\vec {\rho }}

On █████████ la ████████ ${\mathcal {R}}$ █████ que ${\vec {\tau }}'={\mathcal {R}}({\vec {\tau }})\Rightarrow {\hat {f}}({\vec {\tau }}')=\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(\rho )~{\rm {e}}^{{\rm {2i\pi }}{\vec {\tau }}'\cdot {\vec {\rho }}}~\mathrm {d} ^{n}{\vec {\rho }}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(\rho )~{\rm {e}}^{{\rm {2i\pi }}{\mathcal {R}}({\vec {\tau }}){\vec {\rho }}}~\mathrm {d} ^{n}{\vec {\rho }}$

On ne ██████ pas la ██████ de l'█████████ si on ████████

{\vec {\rho }}

par

{\mathcal {R}}({\vec {\rho }})

du ████ que █ est ███████.

\Rightarrow {\hat {f}}({\vec {\tau }}')=\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(\rho )~{\rm {e}}^{{\rm {2i\pi }}{\mathcal {R}}({\vec {\tau }}){\mathcal {R}}({\vec {\rho }})}~\mathrm {d} ^{n}{\mathcal {R}}({\vec {\rho }})

█████

{\mathcal {R}}({\vec {\tau }})\cdot {\mathcal {R}}({\vec {\rho }})={\vec {\tau }}\cdot {\vec {\rho }}=\tau \rho \cos \theta

\mathrm {d} ^{n}{\mathcal {R}}({\vec {\rho }})=\mathrm {d} ^{n}{\vec {\rho }}

\Rightarrow {\hat {f}}({\vec {\tau }}')=\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(\rho )~{\rm {e}}^{{\rm {2i\pi }}\tau \rho \cos \theta }~\mathrm {d} ^{n}\rho ={\hat {f}}({\vec {\tau }})

La ███████████ de ███████ d'une ████████ ███████ est ████ █████ une ████████ ███████ (qui ne ██████ que de $\parallel {\vec {\tau }}\parallel$ ).

On ████████ la ██████████████ entre ███████████ ██████████ et ███████████ ████████ dans █ⁿ, ███████████ █████ ████████ « ███████████ ███████████████ ».

x_{i}=\rho \cos(\varphi _{n-i+1})\prod _{k=1}^{n-i}\sin(\varphi _{k})

On ██████ par ████████ que le ████████ de la ██████████████ des ███████████ ████████████ en ███████████ ███████████████ est :

J=\rho ^{n-1}\prod _{i=1}^{n-2}\sin ^{n-1-i}(\varphi _{i})

avec █_{█ ≤ j ≤ n – █} ∈ [█,█] et █_{n – █} ∈ [█,██].

Il en ███████ :

{\hat {f}}({\vec {\tau }})=\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(\rho )~{\rm {e}}^{{\rm {2i\pi }}\tau \rho \cos \theta }\rho ^{n-1}\mathrm {d} \rho \mathrm {d} \varphi _{n-1}\prod _{j=1}^{n-2}\sin ^{n-1-j}(\varphi _{j})\mathrm {d} \varphi _{j}

Du ████ de la ████████ ███████, on ne ██████ ████ de l'█████████ si on █████████

{\vec {\tau }}

█████████ à l'███ █_█. Cela ███████ █████ à █████ █ = █_█ (et ███████████ des █_{j ≠ █})

$\Rightarrow {\hat {f}}({\vec {\tau }})=\int _{0}^{+\infty }g(\rho )\rho ^{n-1}\mathrm {d} \rho \underbrace {\left(\int _{0}^{\pi }\sin ^{n-2}(\theta )~{\rm {e}}^{{\rm {2i\pi }}\tau \rho \cos \theta }\mathrm {d} \theta \right)} _{<2>}\underbrace {\left(\prod _{j=2}^{n-2}\int _{\varphi _{j}=0}^{\pi }\sin ^{n-1-j}(\varphi _{j})\mathrm {d} \varphi _{j}\right)} _{<1>}\left(\int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \varphi _{n-1}\right)$

██████ de <█>

On ████

I_{j}=\int _{0}^{\pi }\sin ^{n-1-j}(\varphi _{j})\mathrm {d} \varphi _{j}

On █████████ ici la ████████ ████

\mathrm {B} (p,q)=2\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{2p-1}(\alpha )\cos ^{2q-1}(\alpha )\mathrm {d} \alpha ={\frac {\Gamma (p)\Gamma (q)}{\Gamma (p+q)}}

avec █ la ████████ █████ et █, █ █████ ████████.

\Rightarrow I_{j}=\int _{0}^{\pi }\sin ^{n-1-j}(\varphi _{j})\mathrm {d} \varphi _{j}={\frac {\Gamma ({\frac {n-j}{2}})\Gamma ({\frac {1}{2}})}{\Gamma ({\frac {n-j+1}{2}})}}\Rightarrow <1>=\prod _{j=2}^{n-2}{\frac {\Gamma ({\frac {n-j}{2}})\Gamma ({\frac {1}{2}})}{\Gamma ({\frac {n-j+1}{2}})}}={\frac {\pi ^{\frac {n-3}{2}}}{\Gamma ({\frac {n-1}{2}})}}

avec █(█) = █; █(█/█) = √█

\Rightarrow {\hat {f}}({\vec {\tau }})=2{\frac {\pi ^{\frac {n-1}{2}}}{\Gamma ({\frac {n-1}{2}})}}\int _{0}^{+\infty }g(\rho )\rho ^{n-1}\mathrm {d} \rho \underbrace {\left(\int _{0}^{\pi }\sin ^{n-2}(\theta )~{\rm {e}}^{{\rm {2i\pi }}\tau \rho \cos \theta }\mathrm {d} \theta \right)} _{<2>}

On ██████ au ███████

2\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n-2}\alpha \mathrm {d} \alpha ={\frac {\Gamma ({\frac {n-1}{2}}){\sqrt {\pi }}}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}\Rightarrow {\hat {f}}({\vec {\tau }})=2{\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}\int _{0}^{+\infty }g(\rho )\rho ^{n-1}\mathrm {d} \rho {\frac {\left(\int _{0}^{\pi }\sin ^{n-2}(\theta )~{\rm {e}}^{{\rm {2i\pi }}\tau \rho \cos \theta }\mathrm {d} \theta \right)}{\int _{0}^{\pi }\sin ^{n-2}\alpha \mathrm {d} \alpha }}

██████ de <█>

On █████████ la ████████

L_{n}(z)={\frac {\int _{0}^{\pi }\mathrm {e} ^{\mathrm {i} z\cos \theta }\sin ^{n-2}\theta \,\mathrm {d} \theta }{\int _{0}^{\pi }\sin ^{n-2}\theta \,\mathrm {d} \theta }}

On ██████ L_n(█) = █

On a █████

{\frac {\mathrm {d} L_{n}(z)}{\mathrm {d} z}}={\frac {\int _{0}^{\pi }i\cos \theta \sin ^{n-2}\theta \mathrm {e} ^{\mathrm {i} z\cos \theta }\mathrm {d} \theta }{\int _{0}^{\pi }\sin ^{n-2}\theta \,\mathrm {d} \theta }}

En █████████ par ███████ l'█████████ en ██████████, on ███████ la ████████ :

-{\frac {\mathrm {d} L_{n}(z)}{\mathrm {d} z}}={\frac {z}{n-1}}{\frac {\int _{0}^{\pi }\sin ^{n}\theta \mathrm {e} ^{\mathrm {i} z\cos \theta }\mathrm {d} \theta }{\int _{0}^{\pi }\sin ^{n-2}\theta \,\mathrm {d} \theta }}

On ██████ █████ :

{\frac {\mathrm {d} L_{n}(0)}{\mathrm {d} z}}=0

En ████████ une ███████ ████ :

{\frac {d^{2}L_{n}(z)}{dz^{2}}}=-{\frac {\int _{0}^{\pi }\sin ^{n-2}\theta \mathrm {e} ^{\mathrm {i} z\cos \theta }\mathrm {d} \theta }{\int _{0}^{\pi }\sin ^{n-2}\theta \,\mathrm {d} \theta }}+{\frac {\int _{0}^{\pi }\sin ^{n}\theta \mathrm {e} ^{\mathrm {i} z\cos \theta }\mathrm {d} \theta }{\int _{0}^{\pi }\sin ^{n-2}\theta \,\mathrm {d} \theta }}\Rightarrow {\frac {d^{2}L_{n}(z)}{dz^{2}}}+{\frac {n-1}{z}}{\frac {dL_{n}(z)}{dz}}+L_{n}(z)=0

On █████████ ici une ████████ qui est ██████ de l'████████ ██████████████ de ██████. Pour █████ ███████████ le ███████ n – █ du ████████ █████, on ████ :

L_{n}(z)=a_{n}z^{-m}J_{m}(z)

En █████████ cette ██████████ dans l'████████ ██████████████, on ██████ à :

{\frac {\mathrm {d} ^{2}J_{m}(z)}{\mathrm {d} z^{2}}}+\left({\frac {n-1-2m}{z}}\right){\frac {\mathrm {d} J_{m}(z)}{\mathrm {d} z}}+\left({\frac {m(m-n+2)}{z^{2}}}+1\right)J_{m}(z)=0

Il ██████ █████ de █████ m = n – █/█ pour ███████ à l'████████ ██████████████ de ██████ ████████ :

{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} z^{2}}}J_{\frac {n-2}{2}}(z)+{\frac {1}{z}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}J_{\frac {n-2}{2}}(z)+\left(1-\left({\frac {n-2}{2z}}\right)^{2}\right)J_{\frac {n-2}{2}}(z)=0

Il s'████ ████ d'une ████████ ██████████████ de ██████ dont la ████████ de ██████

J_{\frac {n-2}{2}}(z)

est ████████. Il en ███████ █████ la ████████ ████████, par ██████████ de la ████████ de ██████ :

J_{\frac {n-2}{2}}(z)=\left({\frac {z}{2}}\right)^{\frac {n-2}{2}}\sum _{p=0}^{+\infty }{\frac {(-1)^{p}}{p!\Gamma (p+{\frac {n}{2}})}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{2p}={\frac {z^{\frac {n-2}{2}}}{a_{n}}}L_{n}(z)\Rightarrow L_{n}(z)=a_{n}\left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {n-2}{2}}\sum _{p=0}^{+\infty }{\frac {(-1)^{p}}{p!\Gamma (p+{\frac {n}{2}})}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{2p}

Avec

L_{n}(0)=1\Rightarrow a_{n}=2^{\frac {n-2}{2}}\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)\Rightarrow L_{n}(z)=\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)\sum _{p=0}^{+\infty }{\frac {(-1)^{p}}{p!\Gamma (p+{\frac {n}{2}})}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{2p}={\frac {\int _{0}^{\pi }\mathrm {e} ^{\mathrm {i} z\cos \theta }\sin ^{n-2}\theta \,\mathrm {d} \theta }{\int _{0}^{\pi }\sin ^{n-2}\theta \,\mathrm {d} \theta }}

\Rightarrow L_{n}(2\pi \rho \tau )=\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)\sum _{p=0}^{+\infty }{\frac {(-1)^{p}}{p!\,\Gamma (p+{\frac {n}{2}})}}\left({\frac {2\pi \rho \tau }{2}}\right)^{2p}={\frac {\int _{0}^{\pi }\mathrm {e} ^{\mathrm {i} 2\pi \rho \tau \cos \theta }\sin ^{n-2}\theta \,\mathrm {d} \theta }{\int _{0}^{\pi }\sin ^{n-2}\theta \,\mathrm {d} \theta }}

\Rightarrow <2>=\int _{0}^{\pi }\mathrm {e} ^{2\mathrm {i} \pi \rho \tau \cos \theta }\sin ^{n-2}\theta \,\mathrm {d} \theta =2^{\frac {n-2}{2}}\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)(2\pi \rho \tau )^{-{\frac {n-2}{2}}}J_{\frac {n-2}{2}}(2\pi \rho \tau )\int _{0}^{\pi }\sin ^{n-2}\theta \,\mathrm {d} \theta

En ████████ à l'██████████ de la ███████████ de ███████ :

{\hat {f}}({\vec {\tau }})=2{\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}\int _{0}^{+\infty }g(\rho )\rho ^{n-1}\mathrm {d} \rho {\frac {\left(\int _{0}^{\pi }\sin ^{n-2}(\theta )~{\rm {e}}^{{\rm {2i\pi }}\tau \rho \cos \theta }\mathrm {d} \theta \right)}{\int _{0}^{\pi }\sin ^{n-2}\alpha \mathrm {d} \alpha }}=2\pi (\tau )^{\frac {2-n}{2}}\int _{0}^{+\infty }g(\rho )(\rho )^{\frac {n}{2}}J_{\frac {n-2}{2}}(2\pi \rho \tau )\mathrm {d} \rho

Si la ███████████ de ███████ de █ est elle-████ une ████████ ██████████, on a █████ la ███████ d'█████████ :

f(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\hat {f}}(\xi )~{\rm {e}}^{{\rm {i}}x\cdot \xi }~\mathrm {d} \xi

Par ██████████, la ██████████████ de ███████ de L^█ dans C_█ est █████████ (mais pas ██████████).

██████████████ de ███████ pour les █████████ de █████ ████████

█████████ de la ██████████████ de L^█∩L^█ à L^█

Le ████████ de ██████████ ██████ de ██████ un ████ à la ███████████ de ███████ des █████████ de █████ ████████ sur █.

On ████████ par un ███████ ████████ ████████████.

█████ — ████ █ une ████████ ████████ ████ ████ ███████████ █████████ sur █, qui ███████ l'██████████

\forall x\in \mathbb {R} \quad |h(x)|\leq C/(1+x^{2})

(où C est une █████████),

et dont les ████ █████████ ████████ sont ███████████. Ceci ████████ que la ███████████ de ███████ ${\hat {h}}$ est ████ ███████ et de █████ ██████████. De plus, on a l'████████ :

\int _{\mathbb {R} }|h(x)|^{2}\,{\rm {d}}x={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} }|{\hat {h}}(\xi )|^{2}\,{\rm {d}}\xi

██████ par la ███████ ██████████ de ███████

On ███████ la ███████ ███████ ██-██████ dans la █████████████ de la ███████ d'█████████ de ███████ :

\sum _{n\in Z}h(x+2\pi n){\rm {e}}^{-2\mathrm {i} \pi ny}={\frac {1}{2\pi }}\sum _{k\in \mathbb {Z} }{\hat {h}}(y+k){\rm {e}}^{\mathrm {i} (k+y)x}

On █████ le █████ du ██████ des ████ ███████, et l'on ███████ sur l'██████████ [█ ; █] par ███████ à y et sur l'██████████ [█ ; ██] par ███████ à █ :

\int _{0}^{1}\int _{0}^{2\pi }\sum _{m,n\in \mathbb {Z} }h(x+2\pi n){\bar {h}}(x+2\pi m){\rm {e}}^{2\mathrm {i} \pi (m-n)y}\,{\rm {d}}x\,{\rm {d}}y={\frac {1}{4\pi ^{2}}}\int _{0}^{1}\int _{0}^{2\pi }\sum _{j,k\in \mathbb {Z} }{\hat {h}}(y+j){\bar {\hat {h}}}(y+k){\rm {e}}^{\mathrm {i} (j-k)x}\,{\rm {d}}x\,{\rm {d}}y

On peut ████████ l'█████ de la █████████ et des ████ ████████████ dans l'██████████ ██-██████, █████ que les ██████████ ██████ sur █ ██████████ que les ██████ ██████████ ███████████ dans l'██████ des █████████ █████████ de █ et y, ███████████ de ███████ ██ en █ et de ███████ █ en y. L'███████████ en y du ███████ ██████ ne ██████ █████████ que les ██████ pour ████████ m et n sont █████, et l'███████████ en █ du ████████ ██████ ne ██████ █████████ que les ██████ pour ████████ j et █ sont ██████████. Il █████ ████ :

\sum _{n\in \mathbb {Z} }\int _{0}^{2\pi }|h(x+2\pi n)|^{2}\,{\rm {d}}x={\frac {1}{2\pi }}\sum _{k\in \mathbb {Z} }\int _{0}^{1}|{\hat {h}}(y+k)|^{2}\,{\rm {d}}y

Il ██████ de █████ dans le ███████ ██████ le ██████████ de ████████ dans ██████ █████████ █ + ██ n = █' et dans le ██████ le ██████████ de ████████ dans ██████ █████████ y + █ = █, et l'on ███████ la ███████ :

\int _{\mathbb {R} }|h(x')|^{2}\,{\rm {d}}x'={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} }|{\hat {h}}(\xi )|^{2}\,{\rm {d}}\xi

█████ ██████████ de la ████████ ██████ █' en █, on ███████ la ███████ ████████.

Une ████ █████████ dans le █████ ██-██████ la ███████ de ██████████ pour une ██████ de █████████ ████████████ ██████████, on █████ par ███████ la ██████████████ de ███████ à ████ L^█(█).

█████████ de la ██████████████ de ███████ par ███████

On ██████ ██████ les █████ █████████ que dans la █████████████ de la ███████ d'█████████ de ███████ par la ███████ ██████████ de ███████, ████ █ est une ████████ ████ ████ ███████████ ██████████████, à ███████ ███████, et d'█████████ █. On ████ █_█(█) =█ █(██).

████ █ une ████████ de █████ ██████████, et ████ █ un ██████ ██████ ██████████. On ███████

h_{p}=(h1_{[-p,p]})*\phi _{p}

et l'on peut ███████ le ████████ ███████ :

\lim _{p\to \infty }\int _{\mathbb {R} }|h-h_{p}|^{2}\,{\rm {d}}x=0

La █████████████ ███████ des ██████████ ██████████ d'█████████████ par ██████████████.

D'█████ ████, les █████████ █_█ ont les ██████████ ███████████ pour █████████ le █████ ██-██████, et en ███████████

\int _{\mathbb {R} }|h_{p}-h_{q}|^{2}\,{\rm {d}}x={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} }|{\hat {h}}_{p}-{\hat {h}}_{q}|^{2}\,{\rm {d}}\xi

█████ la █████ (█_█)_{█ ≥ █} est de ██████ dans l'██████ L^█(█), la █████ des ████████████ de ███████ $({\hat {h}}_{p})_{p\geq 1}$ est █████ de ██████, ████ elle ████████. Sa ██████, que l'on ████ ${\hat {h}}$ , ne ██████ pas du █████ de la █████ d'██████████████. En █████, si █_█ █████ une █████ █████ d'██████████████ ███████████ vers █ en ███████ ███████████, et ████████████ les ██████████ ██████████████ sous ██████████ on peut █████████ la ███████ ██████████ de ███████, on ██████ l'██████████

\|g_{p}-h_{p}\|_{2}\leq \|g_{p}-h\|_{2}+\|h-h_{p}\|_{2}

qui ████ vers █ pour █ ███████ vers l'██████. Par ██████████, $\|{\hat {g}}_{p}-{\hat {h}}_{p}\|_{2}$ ████ █████ vers █ et l'on ███████ que la ██████ de la █████ ${\hat {g}}_{p}$ est ████ ${\hat {h}}$ .

On a █████ le ████████ de ██████████ :

████████ de ██████████ — ████ █ une ████████ ████████ sur █ et de █████ ████████. █████ la ███████████ de ███████ de █ peut ████ ███████ █████ ████ : pour ████ █ ██████, on ████

f_{p}(x)=(f1_{[-p,p]})(x)={\begin{cases}f(x)&{\text{si }}|x|\leq p,\\0&{\text{sinon.}}\end{cases}}

La █████ des ████████████ de ███████ ${\hat {f}}_{p}$ ████████ dans L^█(█), et sa ██████ est la ███████████ de ███████ ${\hat {f}}$ , c'est-à-████

\lim _{p\to \infty }\int _{\mathbb {R} }|{\hat {f}}(\xi )-{\hat {f}}_{p}(\xi )|^{2}\,{\rm {d}}\xi =0

De plus, on a l'████████ :

\int _{\mathbb {R} }|f(x)|^{2}\,{\rm {d}}x={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} }|{\hat {f}}(\xi )|^{2}{\rm {d}}\xi

De █████ █████████, si l'on ████ $g_{p}(x)=\int _{-p}^{p}{\hat {f}}(\xi ){\rm {e}}^{\mathrm {i} x\xi }\,{\rm {d}}\xi$ , les █_█ ██████████ en ███████ ███████████ vers █.

█████████████ du ████████ de ██████████

L'████████ ████████ ███████ du ███████ d'█████████ ██████ ██-██████ :

\int _{\mathbb {R} }|h(x)|^{2}\,{\rm {d}}x={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} }|{\hat {h}}(\xi )|^{2}\,{\rm {d}}\xi

On █████████ █████ la █████ de █████████ █_█ = █ █_{{[–█,█]}}. En █████ du ████████ de ███████████ ███████ de ████████ pour les █████████ de █████ ████████, la █████ des █_█ ████████ en ███████ ███████████ vers █ et par ██████████, on ████ █████

\lim _{p\to \infty }\|{\hat {f}}-{\hat {f}}_{p}\|_{2}=0

En d'██████ ██████, ${\hat {f}}_{p}$ ████████ en ███████ ███████████ vers ${\hat {f}}$ . La █████████████ pour la ███████ d'█████████ est ████████.

█████ la ██████████████ de ███████-██████████ ███████ un █████████████ ██████████ de l'██████ L^█, qui est une █████████, à █████████ de █████ un ██████████ d'███████ si l'on ███████ la ████████ en █████████

\|{\hat {f}}/{\sqrt {2\pi }}\|_{2}=\|f{\sqrt {2\pi }}\|_{2}

En ████████, on ██████████ le █████ $|{\hat {f}}(\xi )/{\sqrt {2\pi }}|^{2}$ ████████ sous l'█████████ █████ une ███████ █████████ de █████████.

La ██████████ de la ██████████████ de ███████-██████████ est ██████████ avec la ██████████ ██████████ de la ███████████ de ███████ des █████████ ███████████. Sur l'████████████ L^█(█)} ∩ L^█(█) des ████████ de ██████████, on ██████ à l'████ du ████████ de ███████████ ███████ de ████████ que les ████ ███████████ ██████████.

La ██████████████ ███ █████ █████████ de L^█(█)

████████ : ce ██████████ ███████ la ██████████ █████████████ de la ███████████ de ███████, pour des ███████ d'█████████.

On a ██████ █████ que la ██████████████ de ███████ ${\mathcal {F}}$ ██████ sur l'██████ de ███████ L^█(█) un █████████ ████████. Nous en ████████████ ici les ██████████ :

${\mathcal {F}}$ est un █████████ ████████ de L^█. Il s'████ en ███████████ d'une █████████. On ████████ le ███████ ████, █████ sous le ███ de ███████ de ████████, █████████ que pour ██████ █████████ █, █ ∈ L^█(█),

$\langle f\mid g\rangle =\langle {\mathcal {F}}f\mid {\mathcal {F}}g\rangle ,\quad {\text{i.e. }}\quad \int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,{\rm {d}}x=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\nu ){\overline {{\hat {g}}(\nu )}}\,{\rm {d}}\nu$ et en ███████████ le ████████ ████, █████ sous le ███ de ████████ de ██████████ $\|f\|_{2}=\|{\hat {f}}\|_{2},\quad {\text{i.e. }}\quad \int _{-\infty }^{+\infty }|f(x)|^{2}\,{\rm {d}}x=\int _{-\infty }^{+\infty }|{\hat {f}}(\nu )|^{2}\,{\rm {d}}\nu$ ;

son ███████ (qui est █████ son ███████) est █████ par ${\mathcal {F}}^{-1}g={\mathcal {F}}{\check {g}}$ avec ${\check {g}}:x\mapsto g(-x)$ ;
en ████ qu'█████████████, ${\mathcal {F}}$ est de ███████ █. █████████ ███ ${\mathcal {F}}^{4}$ = ██ ;
en ████ qu'█████████████ de L^█(█), ${\mathcal {F}}$ a pour ███████ ███████ les ██████ ███████ ██████████ de l'█████ : █, █, –█ et –█. Une ████ ████████████ de ████████ ███████ est ██████ par les █████████ d'███████-█████

${\phi }_{n}(x)={\frac {2^{1/4}}{\sqrt {n!}}}\,{\rm {e}}^{-\pi x^{2}}H_{n}(2x{\sqrt {\pi }})$ , où █_n(█) sont les █████████ d'███████ « █████████████ », qui s'████████ $H_{n}(x)=(-1)^{n}{\rm {e}}^{\frac {x^{2}}{2}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}{\rm {e}}^{-{\frac {x^{2}}{2}}}$ . Avec ces █████████, la ███████ ████████ ██████████ la █████████ ${\hat {\phi }}_{n}(\nu )=(-{\rm {i}})^{n}{\phi }_{n}(\nu )$ . On ████████ la ██████████ █████ ████████ ████████ d'███████. Ces █████████ █████████████ à la ██████ de ████████ ${\mathcal {S}}$ .

████ avec le ███████ de ███████████

La ██████████████ de ███████ a des ██████████ ████ █████████████ █████ au ███████ de ███████████. On ████████ que (d'█████ l'█████████ de █████ pour la ███████████) :