██████████ de ████

En ████████████ █████████ et en ████████████ █████████, l’██████████ de ████ est un ██████████ █████████ █████ par █████ ████ en ████, qui █████████ un ██████ ███████ N en █████ █ $((\log N)^{3})$ et en ██████ $O(\log N)$ .

████████ de ██████████████ à ███ ████████, ████ que le ███, █████████████ ███████████ si l'██████████ de ████ █████ un ████ ██████████ dans un ███████████ █████████ ████████. Un ███████ ███████ avec ███ peut ████ █████████ par █████████████ de sa ███ ████████ N, qui est le ███████ de ████ ███████ ████████. En l'████ ██████ des █████████████, il n'██████ pas d'██████████ █████████ ███████ de █████ cela en █████ $O((\log N)^{k})$ pour n'███████ quel █. Les ███████████ ██████████ ██████ ██████████ ████ ██████████ █████████████ █████ N ████████, à la ██████████ de l'██████████ de ████ qui peut ██████ le ███ en █████ ██████████. Il a ███ █████ ██████ pour ████████ ████████ d'██████ ██████████████ à ███ ████████. Cet ██████████ a ███████ le █████████████ ██████ de la █████████████ ████-█████████, ███-██████████ à l'██████████ de ████ ou ses █████████.

█████ la ███████ des ███████████ pour ███████████ █████████, l'██████████ de ████ est ████████████ : il █████ la ███████ ████████ avec une █████ ███████████ et la ███████████ d'█████ peut ████ ████████ en ████████ l'██████████.

L'██████████ de ████ fut ███████ en ████ par un ██████ d'███, qui █████████ ██ en █ et █, en █████████ un ███████████ █████████ de █ ██████. █████ ████ ███ plus ████ le ██████ du plus █████ ██████ █████████ en ████████ par l'██████████ de ████ n'a pas ███ ██████████ ████████ et ██████ ████████ de l'█████ de ██.

█████████

████ N un ██████ ███████ █████. L’██████████ de ████ ████ à ████████ un ██████ █ ███████ entre █ et ${\sqrt {N}}$ qui ██████ N.

Il ████████ en ████ ████████:

Une █████████ du ████████ de █████████████ en un ████████ de █████████ d'█████, qui peut ████ █████████ sur un ██████████ █████████.
Un ██████████ █████████ pour ████████ le ████████ de █████████ d'█████.

██████ █████████

███████ un ██████ ██████-█████████ a < N
████████ ████(a, N). Ceci peut ████ ████████ par l'███████████ de l'██████████ d'███████;
1. Si ████(a, N) ≠ █, █████ c'est un ███████ ███ ███████ de N, ce qui █████ une ████████ au ████████.
2. █████, ████████ le sous-█████████ de █████████ de ███████ (██-███████) pour ███████ █, la ███████ de la ████████ $f:x\mapsto a^{x}\ {\mbox{mod}}\ N$ , c’est-à-████ le plus █████ ██████ █ pour ██████ $f(x+r)=f(x)$ .
Si █ est ██████, █████████ à l'█████ █.
Si a ^█/█ ≡ −█ (███ N), █████████ à l'█████ █.
Les ████████ de N sont ████(a^█/█ ± █, N), ce qui ██████ le ████████.

██████ █████████ : sous-█████████ de █████████ de ███████

█████████ avec des █████████ d'██████ et de ██████ de ██████ ███_█N ██████, et les ███████████ à :
${\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{x}\left|x\right\rangle \left|0\right\rangle$

où █ ██ de █ à N – █.
██████████ █(█) █████ une ████████ █████████ et l'█████████ à l'████ █████████, pour ███████
${\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{x}\left|x\right\rangle \left|f(x)\right\rangle$
█████████ la ███████████ de ███████ █████████ au ████████ d'██████. La ███████████ de ███████ █████████ sur N ██████ est ███████ par :
$U_{QFT}\left|x\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{y}e^{2\pi ixy/N}\left|y\right\rangle$

Ce qui █████ l'████ ███████ :
${\frac {1}{N}}\sum _{x}\sum _{y}e^{2\pi ixy/N}\left|y\right\rangle \left|f(x)\right\rangle$
█████████ une ██████. On ███████ █████ une ████████ ██████ y dans le ████████ d'██████ et $f(x_{0})$ dans le ████████ de ██████. █████ █ est ██████████, la ███████████ de ███████ un ███████ y est ██████ par
$\left|{\frac {1}{N}}\sum _{x:\,f(x)=f(x_{0})}e^{2\pi ixy/N}\right|^{2}=\left|{\frac {1}{N}}\sum _{b}e^{2\pi i(x_{0}+rb)y/N}\right|^{2}$

Le ██████ ██████ que cette ███████████ est plus █████ █████ $y\times r/N$ est ██████ d'un ██████.
██████ y/N sous █████ ████████████, et ████████ le ████████████ █′, qui est un ████████ pour █.
████████ si █(█) = █(█ + █′). Si c'est le ███, c'est ███████.
█████████, ███████ plus de █████████ pour █ en █████████ des ███████ ███████ de y, ou █████████ de █′. Si un █████ ████████ ██████, c'est ███████.
█████, █████████ à l'█████ █ du sous-█████████.

███████████ de l'██████████

L'██████████ est ███████ de ████ ███████. La ████████ ██████ ██████████ le ████████ de █████████████ en un ████████ de █████████ de ███████ d'une ████████ et peut ████ █████████ de █████ █████████. La ███████ ██████ ██████ la ███████ en █████████ la ███████████ de ███████ █████████ et est ███████████ de l'████████████ par ███████ aux █████████ ███████████ de █████████████ ██████████.

███████ des ████████ à ██████ de la ███████

Les ███████ ██████████ à N et ████████ avec N ███████ un ██████ ████ ████ de la ██████████████ ██████ N, qui est ███████████ ████ (█/N█)^×. La ███ de l'█████ █ ██████ de ██████████ un ██████ a dans ce ██████. █████ le ██████ est ████, a ███████ (d'█████ le ████████ d'█████) un █████ ████ █, ██████ █████ plus █████ ██████ ███████ ███ que

a^{r}\equiv 1\ {\mbox{mod}}\ N

Par ██████████, N | (a ^█ – █). █████████ qu’il ████ ████████ de ██████████ █, et que █████-██ est ████. █████

a^{r}-1=(a^{r/2}-1)(a^{r/2}+1)\equiv 0\ {\mbox{mod}}\ N

, d’où

N\ |(a^{r/2}-1)(a^{r/2}+1)

█ est le plus █████ ██████ ███████ ███ que N ██████ (a ^█ – █), ████ N ne peut pas ███████ (a ^{█ / █} – █). Si N ne ██████ pas ███ plus (a ^{█ / █} + █), █████ N ████ █████ un ███████ ██████ ███-███████ avec ██████ des (a ^{█ / █} – █) et (a ^{█ / █} + █).

██████ : ██████ (a ^{█ / █} – █) et (a ^{█ / █} + █) par █ et █ ██████████████. N | ██, ████ ██ = ██ pour un ███████ ██████ █. █████████ que ████(█, N) = █ ; █████ ██ + ██ = █ pour ████████ ███████ m et n (████████ de ██████). En ███████████ de ████ et d’█████ par █, l’on ██████ que ███ + ███ = █, ████ N | █. Par █████████████, ████(█, N) ≠ █. Par un ████████ █████████, ████(█, N) ≠ █.

Ceci ███████ une █████████████ de N. Si N est le ███████ de ████ ███████ ████████, elle est la █████ █████████████ ████████.

███████ la ███████

L'██████████ de █████████ de ███████ de ████ est █████████ █████ à la ████████ d'un ███████████ █████████ à ████ dans de ████████ █████ █████████████. Les ██████████ █████████ ce ████████████ une « █████████████ » d'█████. Pour ████████ la ███████ d'une ████████ █, nous ████████ la ████████ en ████ ses ██████ █████████████.

████████, la ████████ █████████ ne nous ██████ pas d'███████ à █████ l'███████████ ███████████. Une ██████ ████████ █████████ une █████ ██████ les ███████ █████████ en ██████████ ██████ les ██████. Par ██████████ nous █████ à ███████████ avec ██████████ la █████████████ en un █████ ████ qui ██████████ la ███████ ████████ avec une █████ ███████████. Ceci est ████████ par la ███████████ de ███████ █████████.

████ ███ █████ à ████████ █████ █████████ : ████ ont ███ ███████ « ██████████ », c'est-à-████ avec un ██████ de ██████ ██████████ ██████████ en $\log N$ .

█████ une █████████████ d'█████. Ceci peut ████ ████ en ██████████ des ██████ d'████████ à ████ les ██████ dans le ████████ d'██████. Une █████ ████████ ██████ d'████████ la ███████████ de ███████ █████████ (████ ██-███████).
███████████ la ████████ █ █████ une ██████████████ █████████. Pour █████████ cela, ████ ███████ l'█████████ au █████ pour sa ██████████████ d'██████████████ █████████.
████████ une ██████████████ de ███████ █████████. En █████████ les ██████ ███ ██████████ et les ██████ █████ à ████████ ██████, ████ ██████ un ███████ pour la ███████████ de ███████ █████████ qui ███████ █████ $O((\log N)^{2})$ ██████.

█████ ██████ ces ███████████████, une ██████ ███████ une █████████████ de la ███████ █. Pour ██████████, ████████ nous qu'il ██████ un y ███ que ██/N ████ un ██████. █████ la ███████████ de ███████ y est █. Pour ████ cela, ██████ qu'█████ $e^{2\pi ibyr/N}=1\,$ pour ████ les ███████ █. Par ██████████, la █████ qui nous █████ la ███████████ de ███████ y ████ de N/█ █████ █ █████ ███████████ N/█ ███████ et █████, la ███████████ est █/█. Il ██████ █ y ████ que ██/N ████ un ██████ ████ les ████████████ ██████████ █.

████ : une █████ ███████ d'█████████ l'██████████ de ████ est de █████ que c'est █████ l'██████████ d'██████████ de █████ █████████ ███████.

██████████

Pour un ██████ ██████ N █████ $n$ ████ la ██████████ ██████████ de l'██████████ de ████ est $O(n^{3})$ , c'est-à-████ $O((log(N))^{3})$ ^{[███. ██████████]}. Pour la ██████ █████████ de l'██████████, l'█████████ de la ██████████ █████ de l'███████████ de l'██████████ d'███████ en $O(n^{2})$ qui est ██████ ████ que l'on ne ██████ pas de ██████ dont l'█████ ████████^{[███. ██████████]}.

████ en █████ ████████

Pour ████ ██████████ en ████████ sur des ███████ ███████ ████ ██████ pour ████ ██████████ par des ███████████ ██████████, l'██████████ de ████ █████████ de l'█████ d'un ███████ de ██████ ████████ ██████████ █████████, et ████ un ██████ █████ de █████ de ██████████ ████ des █████ █████ un ████ d'██████ ████ plus ██████ que ████ ███████ par les ██████████. De ce ████ en ████ le plus █████ ██████ █████████ par cette ███████ █████ ██. En ████ le plus █████ ██████ █████████████ █████████ par un l'██████████ de ████ ███████ sur un ██████████ █████████ est ████████ un ██████ à ████ ████████. Le █████████████ █████████████ des ███████████ ██████████ █████████, dont les ████████████ ████████ ████ s'il est ████████, est █████ ████ plus ████ que █████ de la █████████████ ████-█████████ qu'il a ████████.

█████ et ██████████

(en) Cet ███████ est █████████████ ou en ████████ ████ de l’███████ de █████████ en ███████ ████████ « ████'s █████████ » (████ la █████ des ███████).

███████

█████████████

(en) █████ █. ████, ██████████-████ ██████████ ███ █████ █████████████ ███ ████████ ██████████ on a ███████ ████████. « █████-██/███████ », █████ en █████ █████, sur █████.
(en) ███████ A. ███████ et █████ L. ██████, ███████ ███████████ ███ ███████ ███████████, █████████ ██████████ █████, ████
Un █████ ███████████ sur le ██████ █████████
(en) █████ ███████ et ████ ████, « █████ ████ on ███ ███████ ██ ████’s █████████ », ███████ █████,‎ █ ████ ████ (███ ██.████/██.████.███████= ).

████████ ████████

███████████ █████████
██████████ de ██████
██████████ de ███████-█████

█████ ████████

Une ███████████ de l'██████████ de ████, sans ███████, sur le ████ de █████ ████████
███████ de █████████ █████████ l'██████████ de ████ en ██████ (avec des ████████████ plus ████████ que sur ██████████ █████████)

████████████ et ███████ des ███████
███████ de l'████████████ █████████
███████ des ████████ ██████████