█████████████ ██ ███████

██ ██████ █████ ███████████ ██ █████████████ ██ ███████ (█ ███████████) █ ███ █████████████ ██ ███████████ ████████ ███ ███████ ██ ███████████ ███ ██ ██████ ██ ██████ ███ ██ ██████████ ███████████████ ██ █████████████████ ██ ██ ████ ██████████ ██ █████, ████ ██ ██████ ██████ $\lambda$ ██ ██████. ██ ███████, ██ ████████ ███ █████████████ ██ ███████ ███ ████████ ██ ██████ ██ ████████ ████████ ██ ██ ████-██████ ██ ██ ███████████ ████ █████████, ████ ███ █████████ ██████████. ██████ █████████████ █ █████ ████ ████ █████ █████ ██████ ████.

██████ ██ ████ ███ ██████████ ████████ ██████-█████ ███████.

███████████

██ █████████████ ██ ███████ ${\mathcal {P}}_{\lambda }(n)$ █ ███ █████████████ ██ ███████████ ████████ ████ ██

{\mathcal {P}}_{\lambda }(n)={\frac {\lambda ^{n}}{n!}}e^{-\lambda }

███ ████

n\in \mathbb {N}

████ $\lambda$ █ ██ ██████ █████ ██ ██████ ███ ██████████ ██ █████, ██████ $█$ █ ██ ██████ ██ ██████ ███ ██████████ ██ █████ (██ ██████ ███ █████ ██ ██████ $\lambda$ ) ██ ███ ██ █████ ██ ███████████.

█████ ████████ ██ █████ ████'████████████ $e^{\lambda }=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{n}}{n!}}$ ██ █████ ${\mathcal {P}}(\mathbb {N} )=1$ .

███████████

██ █████████████ ██ ███████ ███ ██████ ████████ ████ ██████ █████ █████████████ █████████ ${\mathcal {B}}(n,p)$ , ███ $\lambda =np$ , ██████ ██ ██ ███ ███████████ ██ █████ ██ ${\mathcal {B}}(n,\lambda /n)$ █ ${\mathcal {P}}(\lambda )$ . ███ ██████ ███████████ ██ █████████████ ██ ███████ █ █████ ████ ████ █████ (██ ███████████) █████ ██████ ████.

██ ██████████ ██ ██████ █'███████████████ █████ █████████████ █████████ ███████ ██ █████████████ ██ ███████ ██████ █>██ █ █<█/██, █ ███████████████ ██████ █>███ █ ██<██.

███████████████

███ █████████ █████████ █ ██ █████████████ ██ ███████ ██

██████ ██████

E[Y]=\sum _{n=0}^{\infty }n{\frac {\lambda ^{n}}{n!}}e^{-\lambda }=\sum _{n=1}^{\infty }n{\frac {\lambda ^{n}}{n!}}e^{-\lambda }=\lambda e^{-\lambda }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda ^{n-1}}{(n-1)!}}=\lambda e^{-\lambda }\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{n}}{n!}}=\lambda

████████

{\begin{aligned}{\text{Var}}(Y)&=E[Y^{2}]-(E[Y])^{2}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }n^{2}{\frac {\lambda ^{n}}{n!}}e^{-\lambda }-\lambda ^{2}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }n(n-1){\frac {\lambda ^{n}}{n!}}e^{-\lambda }+\sum _{n=0}^{\infty }n{\frac {\lambda ^{n}}{n!}}e^{-\lambda }-\lambda ^{2}\\&=\sum _{n=2}^{\infty }n(n-1){\frac {\lambda ^{n}}{n!}}e^{-\lambda }+\lambda -\lambda ^{2}\\&=\lambda ^{2}e^{-\lambda }\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\lambda ^{(n-2)}}{(n-2)!}}+\lambda -\lambda ^{2}\\&=\lambda ^{2}+\lambda -\lambda ^{2}\\&=\lambda \end{aligned}}

(███████████

n^{2}

████

n(n-1)+n

)

████████ ███████████ ███ ███████