████████ ███████ (███████)

Een ████████ ███████ is in de ████████ een ███████ ███████ ██████ █████████████ van een █████████ ██████████ in ██████ █████████████ van de █████████████. ████████ ████████████ zijn █████████ van ██████ in ████████████ de ███████ en de █████████.

Veel ███████ ████████ op de █████ ████████, █████ $x\mapsto x^{t}$ voor $t\geq 0$ , de █-█████, de ████████ █████ en ███████, zijn ███████. Ook zijn de ███, het ████████ en het ███████ van ████ ████████ ████████ ████ ███████. Er ███████ █████████████ ██████████ van het ██████ ████████████. De █████████ is de ███████-█████-█████████, die de ████████████ █████████ ███████████ ███████████.

█████████

███████

Een ███████ $f:A\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ████ ███████ in het ████ $█$ , als er voor ████ $\varepsilon >0$ een $\delta >0$ is, ███████ dat voor ████ ██████ $x\in A$ ████████ $|x-a|<\delta$ , die dus bij $█$ in de █████ ██████, █████ dat $|f(x)-f(a)|<\varepsilon$ , wat ███████ dat ook de ███████ bij ██████ in de █████ ██████.

Een ███████████ █████████ is dat een ███████ $█$ ███████ is in een ████ $█$ als $\lim _{x\to a}{f(x)}=f(a)$ .

De ███████ $█$ is ███████ als deze ███████ is in ██████ █ in het ██████ van $█$ .

█████████

Het ██████ ████████████ kan ██████████ worden naar █████████ ███████. Als $█$ en $█$ █████████ ███████ zijn met ████████████████ █████████ $d_{X}$ en $d_{Y}$ , en $x_{0}$ is een ████ in $█$ , dan is een ███████ $f:X\to Y$ ███████ in het ████ $x_{0}$ als er voor ████ $\varepsilon >0$ een $\delta >0$ is, ███████ dat voor ███ ████ $x\in X$ ████████ $d_{X}(x,x_{0})<\delta$ █████ dat $d_{Y}(f(x),f(x_{0}))<\varepsilon$ .

Een ███████ is ███████ op $█$ , of ███████ ███████, als de ███████ ███████ is in ███ ████ van $█$ .

█████████

In de █████████ ████ een ██████████ $f:X\to Y$ van de ████████████ ██████ $█$ naar de ████████████ ██████ $█$ ███████ in het ████ $x\in X$ , als voor ████ ████████ $█$ van $f(x)$ er een ████████ $U$ van $█$ ███████ ███████ dat $f(U)\subseteq V$ . Als $█$ ███████ is in ████ $x\in X$ , ████ men █████████ dat $█$ ███████ is. ██████████ kan worden dat voor █████████ ███████, die altijd ook ████████████ ███████ zijn, de █████ █████████ van ████████████ ██████████ zijn.

███████████

De ██████ en de ████ ███████ zijn ███████, de ██████ niet (er zijn ████████████).

In de ████████████ ██████ █████ de ██████████ van ████████████ ███████ voor █████ deze ███████. De ██████ ████ heeft ████ ██████████████ (niet ██████████ in de ██████). Van de ████ ██████ is de █████████ in het ██████████████ ██████ aan █.

████ op dat, ██████ de ████ ██████ ███████ was, zijn ██████ █████████ niet ███████ is, er zijn ████ ████████████ in de █████████: ██████ ████ de ████████████████████ in de ██████ (███ ████████ ██████) █████████.

██████████ █████████

████████ de ███████ $f(x)={\frac {x+1}{x^{2}-1}}$ en ███████ de ██████ █████ in de ██████ $x=0$ en $x=-1$ .

███████ de ██████████████ in ██████ ████████ $x=0$ :

███████████████ ██████ dat de ██████ van $f(x)$ in $x=0$ ██████████████ −█ is:

\lim _{x\to 0}f(x)=-1

████ op dat de ███████ $█$ voor $x=0$ ████████████ is. Wat is de █████████████ in dat ████:

f(0)=-1

De █████████████ in het ████ $x=0$ is ██████ aan de ██████ van de ███████ in dat ████. Dat is de █████████ van ████████████; het █████ ████████ te ███████████████ dat $█$ ███████ is in het ████ $x=0$ .

███████ nu de ██████████████ in ██████ ████████ $x=-1$ .

De ███████ $█$ █████ een ██████ in $x=-1$ te ██████ ██████ aan −█,█:

\lim _{x\to -1}f(x)=-0{,}5

████ deze ██████ ███████ met de █████████████ in dat ████? De ███████ is niet ████████████ voor $x=-1$ ; de ██████ wordt ████████ ███. Hier ███████ de ██████, maar de █████████████ niet. De ███████ is niet ███████ in $x=-1$ .

████████

█████████ wordt ███████ ██████████ dat een ███████ ██████ ███████ is ██████ de ███████ geen ████████ ████████. Dit is ██████ niet ████. Een █████████ ███████ is de ███████ $f:[0,2]\setminus \{1\}\mapsto \mathbb {R}$ ███████ door:

f(x)={\begin{cases}-1,&{\mbox{ als }}x<1\\1,&{\mbox{ als }}x>1\end{cases}}

Deze ███████ █████ █████████ een ██████ in █, maar is ███████. Dit is te █████████ ███████ █ niet in het ██████ van de ███████ ████.

████████ ████████████

Een ███████ $f:A\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ████ ███████ ███████ als voor ████ $\varepsilon >0$ een $\delta >0$ ███████, █████ voor ████ $a,x\in A$ █████ dat uit $|x-a|<\delta$ █████ dat $|f(x)-f(a)|<\epsilon$ .

████████ ████████████ is ███████ dan ██████ ████████████, ████ ███████ die ███████ ███████ is is ook ███████. Het ██████████ █████ ██████ niet altijd. ████████ ████ de ███████ $f:[0,2]\setminus \{1\}\to \mathbb {R}$ ███████ door:

f(x)={\begin{cases}-1,&{\mbox{ als }}x<1\\1,&{\mbox{ als }}x>1\end{cases}}

Deze is ███████ maar niet ███████ ███████.