███████ (██████████)

█████████ sind ein █████████ ████████████ des ██████████████ ███████████ der █████████████████. Ein ███████ ist eine ██████████████████ █████████ zwischen ████ ██████████. ████████ █████████ haben in ██████ ████████████ der ██████████ eine █████████ █████████. █████████ werden auch █████████ ███████ (████████ ███ in ██████████ █████████), da ███ eine ███████ ███████████ ████████████ █████████ ██████████.

██████████

█████ ${\mathcal {C}},{\mathcal {D}}$ ██████████. Ein (███████████) ███████ ist eine █████████ $F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$ , die:

███████ auf ███████ ████████: $F:{\rm {{Ob}({\mathcal {C}})\to {\rm {{Ob}({\mathcal {D}})}}}}$
██████████ auf ██████████ ████████: █████ X , Y , Z ███████ in C , dann ████ F : ███ C ⁡ ( X , Y ) → ███ D ⁡ ( F ( X ) , F ( Y ) ) so dass:
- $F(\mathrm {id} _{X})=\mathrm {id} _{F(X)}\,\!$
- $F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)$ ███ alle ██████████ $f\colon X\to Y\,\!$ und $g\colon Y\to Z$ .

█████████████

Der ███████ ██████ █████ ████████████████████ und █████████████. ███ █████ ██████████ $u\colon A\to B$ in ${\mathcal {C}}$ ████ $F(u)\colon F(A)\to F(B)$ .

Ein ███████ $F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}$ von einer █████████ auf sich ██████ █████ ███████████.

█████████ ███████████ den ████████ von einer █████████ zu einer ███████, █████ die █████████ ██████ ██████. Das ████████ ██████ ██████ █████ ███ auch die ██████████████ ██████ █████████, oder ███ ████, die ██████ ████████ zu ██████ ████████ ████████████ sei ███████████.

███████████████ ███████

Ein ███████████ ███████ auf der ██████ █████████, $F\colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\to {\mathcal {D}}$ , wird als ███████████████ ███████ (oder █████████) $F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$ ██████████ und kann als █████████ von ${\mathcal {C}}$ nach ${\mathcal {D}}$ █████████ werden, indem ███ die ██████████ in ${\mathcal {C}}$ und ${\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }$ ███████████ █████████████. ███████ ist eine █████████ $F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$ █████ dann ein ███████████████ ███████, ████

███████ auf ███████ ██████████ werden und
██████████ auf ██████████ ██████████ werden: █████ X , Y , Z ███████ in C , dann ████ F : ███ C ⁡ ( X , Y ) → ███ D ⁡ ( F ( Y ) , F ( X ) ) , so dass:
- $F(\mathrm {id} _{X})=\mathrm {id} _{F(X)}\,\!$
- $F(g\circ f)=F(f)\circ F(g)$ ███ alle ██████████ $f\colon X\to Y\,\!$ und $g\colon Y\to Z$ . (███████ die █████████ ███████████ auf der ███████ █████)

█████████

Der ██████████ ███████ $\mathrm {id} \colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}$ , der █████ ██████████ sich ██████ ████████, ist ein ███████████ ███████.
Ist ${\mathcal {C}}$ die █████████ der ███████████ mit den ████████ ███████████ als ██████████ und ██████ $F:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {C}}$ █████ ██████████ $V$ ██████ ████████ $V^{*}$ zu und █████ ████████ █████████ $f\colon V\rightarrow W$ die █████ █████████ $f^{*}\colon W^{*}\rightarrow V^{*}$ zu, so ist $F$ ein ███████████████ ███████.
██████ ███████████ sind ████████████████: ██████████████ sind in der █████████ der ███████ die ███████ ███████, also mit einer ███████████ █████████ ██████, und die ██████████ █████████████████████, also █████████ ███████████ zwischen ██████ ██████. Die ██████████ von ██████████ ist dabei ██████ ███████ als die ██████████ von ███████████. Der ██████████████ ist ███ ein ███████ in die █████████ der ██████, er „████████“ die ██████████████ und █████ █████ ██████ die ████████████████ █████ und █████ █████████████████████ die ██████████ █████████ auf ██████ █████ zu. █████████████ ████████████████ ████ es ███ alle ██████████ █████████████ ██████████ und ebenso ███ ██████████ █████████████ █████ mit ████████ ███████████ ███.
█████████ █████ sich zu einigen ██████████ der █████ ███████ $F:Set\rightarrow {\mathcal {C}}$ ███████████, der einer █████ $X$ das █████ ██████ █████████ von $X$ ████████. ███████████ werden auf die ██████████████ ██████████████ ██████████. Zum ████████ ███ die █████████ der ███████ wird $X$ die █████ ██████ ████ $X$ ██████████ und ██████████████ werden durch die ███████████ ███████████ der ██████ ███████ ██████████. ███████ ██████████, in denen ██████ ██████████████ █████████████, sind z. B. ████████ ███████, █████, ███████████ █████, R-██████ und ███████████. █████ ██████ █████████ sind ███ ███████████████ zu dem ██████████████ ██████████████.
Die █████ █████████ einer █████████ ███████ aus denselben ██████████, █████ ██████ die ██████████ █████████ █████████ ist. Der ████████████████ $\omega \colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }$ , der █████ ██████████ sich ██████ ████████, ist also ein ███████████████ ███████.
Auf der █████████ der ██████ █████████ ███ den ███████████████████, der █████ █████ ████ ███████████ ████████ und █████ █████████ $f\colon A\to B$ die █████████████ ${\mathcal {P}}(B)\to {\mathcal {P}}(A),S\mapsto f^{-1}(S)$ ████████. Der ███████████████████ ist █████████████. ████████ █████████ ███████ auch in ███████ ██████████ auf, bei denen ███ ███ █████████ ███████████ als ██████████ ███████ und █████ der ███████████ und ███████████ zwischen █████ █████████ ████████ und ██████████████ zwischen █████ ██████████, █████ etwa ████████████████ ███ █████████ ████████.
Sind ${\mathcal {C}}$ und ${\mathcal {D}}$ ██████████ und $D\in {\mathcal {D}}$ ein ██████, so █████ der ███████ ${\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}}$ , der █████ ██████ auf $D$ und █████ ██████████ auf $1_{D}$ ████████, der █████████ ███████ mit ████ $D$ .

██████████ █████████████

Die ██████████ ██████ ███████████ █████████ ist ██████ ein ███████████ ███████.
Die ██████████ ██████ ███████████████ █████████ ist ein ███████████ ███████.
Die ██████████ eines ███████████ mit einem ███████████████ ███████ ist ein ███████████████ ███████.
Das ████ eines █████████████ unter einem ███████ ist ████████ ein █████████████.
Das ████ einer ██████████ ███. einer ████████████ unter einem ███████████ ███████ ist ████████ eine ██████████ ███. eine ████████████.
Das ████ eines █████████████ ███. eines ██████████████ unter einem ███████████ ███████ ist im ███████████ ████ █████████████ ███. ██████████████, da die ███████████ durch eine ██████████████████ des ████████ nicht ████████ ███████ ████.
Das ████ eines ████████ ist im ███████████ █████ ██████████████ der █████████████, denn es ██████ ████████████ ███████ auf ████████ ██████ ██████████ werden, ███████ ████████████ von ██████████ des ██████ des ████████ nicht ████ im ████ ██████ ██████. █████████ etwa eine █████████ ${\mathcal {C}}$ mit den ████████ $A,B_{0},B_{1},C$ und ██████████ $u\colon A\to B_{0}$ , $v\colon B_{1}\to C$ und eine █████████ ${\mathcal {D}}$ mit den ████████ $A, B, C$ und ██████████ $f\colon A\to B$ , $g\colon B\to C$ , $gf\colon A\to C$ . $F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$ sei ein ███████ mit $F(A)=A$ , $F(B_{0})=F(B_{1})=B$ , $F(C)=C$ , $F(u)=f$ , $F(v)=g$ . Dann ██████ $F(u)$ und $F(v)$ im ████ von $F$ , nicht aber $F(v)F(u)=gf$ .

██████████████

Sei eine ███████ von ██████████ $({\mathcal {C}}_{i})_{i\in I}$ █████████ einer (███████) █████ $I$ ███████. Ein ███████████ ███████ $F$ von der ████████████████ $\textstyle \prod _{i}{\mathcal {C}}_{i}$ in eine █████████ ${\mathcal {D}}$ █████ ███ ███████████ ████████████. ███ ██████████ ███ auch ██████████████, die in ███████ ███████████ ██- und in ███████ █████████████ sind. $F\colon \textstyle \prod _{i}{\mathcal {C}}_{i}\to {\mathcal {D}}$ █████ █████ dann ████████████ der ███████ $v\colon I\to \{0,1\}$ (die $█$ █████ █████████, die $█$ █████████████ an), ████ er ██████████ als █████████ von

\prod _{i}{\begin{cases}{\mathcal {C}}_{i}&{\text{wenn }}v(i)=0\\{\mathcal {C}}_{i}^{\operatorname {op} }&{\text{wenn }}v(i)=1\end{cases}}

nach ${\mathcal {D}}$ ein ███████████ ████████████ ist. Ein ████████████ auf dem ███████ ██████ ██████████ █████ █████████. ████████ ███ den ██████████████████ eines █████████████ in █████████ ███████████ auf ein █████████ ██████ ein, so ██████ ███ einen ██████████ ███████, █████████ ein ████████████, der in den ███████ ███████████ █████ ███████ ██████.

█████████

Die ███████ eines ████████ ist im ███████████ nicht █████████. ███████████████: Auf der █████████, die ███ aus einem ████████ ██████ mit ██████ ████████████████████ ███████, ist der █████████████████ ██- und █████████████. ████ ████ auch ███████████ in ██████████, deren ██████████ alle ██████████████ sind, ██████ die █████████████████████ ███████ sind. ████████ ███ ██████████████ bei ██████████████ ist eine ██████████ ██████████ von einer ████████████████ in eine ██████████, ██████ ███████ ist in allen ███████ ███████████ ██████ ██- als auch █████████████.

█████████

Ein ███████ in der █████████████████ besonders █████████ ███████ ist der ███-███████ $\operatorname {Hom} _{\mathcal {C}}$ , der ███ ████ █████ ██████ █████████ ${\mathcal {C}}$ auf dem ███████ ${\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}$ als █████████ der ███████ $(1,0)$ in die █████████ der ██████ █████████ ist: ███ ████ ███████ $A, B$ in der █████████ ${\mathcal {C}}$ sei ████████ $\operatorname {Hom} _{\mathcal {C}}(A,B)$ als die █████ aller ██████████ von $A$ nach $B$ █████████. ███ ████ ██████████ $f\colon A\to B,g\colon C\to D$ in $C$ sei

\operatorname {Hom} _{\mathcal {C}}(f,g)\colon \operatorname {Hom} _{\mathcal {C}}(B,C)\to \operatorname {Hom} _{\mathcal {C}}(A,D),m\mapsto gmf

█████████. ███ █████ ██████

A

sind die ██████████ ███-█████████

\operatorname {Hom} (A,-)

███.

\operatorname {Hom} (-,A)

██- ███. ██████████████ █████████.

Das █████████-███████ ist ein █████████ der ███████ $(0,0)$ in der █████████ der ████████ (████ ████ auch ███████████ ███ ██████████████).
In der █████████████ ███████ ███████ der ███-███████ und der ███-███████ eine █████████ █████.

█████████████ von █████████

Wie bei den ███████ ██████████████ ██████████ ██████, █████ es ████, █████████, ██████████ und █████████ █████████ zu ██████████. Die ██████████████ eines ██████████ ████████ ist wie bei allen █████████████ ██████████ ████████ ein ███████, ███ ███████ daher in ██████ ████ von einem █████████████ zwischen ██████████. ██████ ████████████████████ ist ██████ ███ die █████████████████ in einem ████████ █████ ███████████: ███ die ████████ einer █████████ ██████ es ███████ im ████████████ █████ █████, ob zu einem ██████ ███████ █████████ ███████ █████████ sind. Die ██████████ von ████ ██████████ ████████ zu einem ██████████ ██████ ███████████ einander ██████████, und █████████. ███ einen █████████████ im ██████ █████ ██████ es ██████ einen ███████████, wie █████ (██████████, ███ ██████ sich in einer ███████ █████████, ██████ ███ von ████████ ████████ kann) █████████ ███████ ███████ █████████ sind, eine ███████████, die ███ ██████████████████████ █████████████ im ███████████ █████ █████ ██████. ██████ ████████ ██████ etwa von ██████ ███████████ ███████ in der ████████████ einer █████████ ████████ – █████████ ███ ████████████████ ██████████████████ als ██████████ der $\mathbb {R} ^{n}$ (in dem ████ ████ es eine █████ aller ██████████████████) oder als █████████ ██████ mit einer █████████████████ ████████ (█████ ██████ eine █████ ██████)? Sind je ████ ████████████████ ███████████ ██████ (████████████ der ███████████ der ██████████████) oder ███ ████████? ███. Daher █████████ ███ ███████ █████████████ von █████████, die „█████████████“ unter ██████████ oder █████████ von ██████████ ████████ sind:

Ein ███████ $F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$ █████ ████, ████ █████ ████ █████████████ ██████████ zwischen denselben ████████ auf denselben ██████████ ██████████ werden, d. █., er ist ████████ auf █████ ██████ ${\mathcal {C}}(A,B)$ von ██████████ zwischen $A$ und $B$ . ██████ dazu █████ er ████, ████ er auf █████ ██████ ${\mathcal {C}}(A,B)$ █████████ ist. Ein ██████████ ███████ ist ein ███████, der ████ und ████ ist. Ein ██████████ ███████████ ███████ ist ███ ein ███████, ██████ ███ █████ ██████ in ${\mathcal {D}}$ ein ██████████ ██████ █████████, das im ████ von $F$ █████. Eine ██████████ ist ███ ein ███████, der ████████ und ██████████ █████████ ist. ████ ██████ in ████████ ████████ einen █████████████ █████████████████ ███ ██████████ ███. Eine ██████████ ███████ zwar █████ ███████ ████████ im ██████████ █████, ████ aber █████ █████████ in ████ einer ██████████ von $D$ nach $C$ , ██████ bei ██████████ der beiden ████████████ ███████ auf █████████ ███████ ██████████ werden. ██████████ ███ █████ ██████████ ███ ████████ von ██████████, so ██████ der ███████ der ██████████ mit dem der ██████████ ███████.

████████ █████████

Ein ███████ $F$ zwischen ████████████ ██████████ █████ ███████, █████ die ███████████ ███████████ auf den ███████ der ██████████ ███████ ein █████████████████████ ist.