██████

En ██████ de ██████████, un ██████ o ███████ es una ███████ de una █████████ a otra que ████ ████████████ ███████ con ███████ █ █████████ con █████████, de ██████ que la ███████████ de █████████ █ las ███████████ se █████████.

Los ████████ se ████████████ ███████ en █████████ ██████████, donde se ███████ los ███████ ███████████ con los ████████ ███████████ █ se ███████ los █████████████ ███████████ con las █████████ █████████. ███ en ███, los ████████ se ████████ a ██████ de las ███████████ ████████ para ██████████ ██████ ██████████.

████████ de █████████ ███████ son el ██████ ████ █ el ██████ █████.

██████████

████ █ █ █ ███ ██████████. Un ██████ █ de █ a █ es una ███████████████ que

██████ a ████ ██████ $█$ en █ a un ██████ $F(X)$ en █,
██████ ████ ████████ █ : █ → █ en █ a un ████████ █ ( █ ) : █ ( █ ) → █ ( █ ) en █ de ███ ██████ que las ██████████ ███ ███████████ se █████████:
- $F(\mathrm {id} _{X})=\mathrm {id} _{F(X)}\,\!$ para ████ ██████ $█$ en █,
- $F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)$ para █████ los █████████ $f\colon X\to Y\,\!$ █ $g\colon Y\to Z$ en █.

Es █████, los ████████ █████ █████████ los █████████ de █████████ █ la ███████████ de █████████.

██████████ █ ██████████████

█████ ███████: ██████████ █ ██████████████

███████ ██████ ██████████████ en ███████████ que ██████ ████████ si no █████ por el █████ de que "█████████ los █████████" █ "█████████ la ███████████". En ████████████, se ██████ un ██████ ██████████████ █ de █ a █ como una ██████████ que

██████ ████ ██████ $█$ en █ con un ██████ $F(X)$ en █,
██████ ████ ████████ █ : █ → █ en █ con un ████████ █ ( █ ) : █ ( █ ) → █ ( █ ) en █ ███ que se ███████ las ███ ███████████ ██████████:
- $F(\mathrm {id} _{X})=\mathrm {id} _{F(X)}\,\!$ para ████ ██████ $█$ en █,
- $F(g\circ f)=F(f)\circ F(g)$ para █████ los █████████ $f\colon X\to Y$ █ $g\colon Y\to Z$ en █.

████ ███████ en ██████ que los ████████ ███████████████ █████████ la █████████ de la ███████████.

Los ████████ ██████████ ███████ se █████████ ████████ ███████████ para █████████████ de los ███████████████. █████ en ██████ que ███████ se █████ ███████ un ██████ ██████████████ como un ██████ ██████████ en la █████████ ███████ $C^{\mathrm {op} }$ . ███████ ███████ █████████ ████████ █████ las ███████████ de ██████ ██████████. Es █████, en █████ de █████ que $F\colon C\to D$ es un ██████ ██████████████, ███████████ ████████ $F\colon C^{\mathrm {op} }\to D$ (o, a █████, $F\colon C\to D^{\mathrm {op} }$ ) █ lo ██████ ██████.

Los ████████ ███████████████ ███████ se █████████ ██████████████ ██████████.

██████ una ██████████ que se ███████ a ████████, es █████, a ██████ ███████████, █████████ del ███████ de █████████ $\Gamma (TM)$ de un ███████ ████████ $█ █$ , como ███████████████ █ a ██████████, es █████, █-██████, █████████ del ███████ de █████████ $\Gamma {\mathord {\left(T^{*}M\right)}}$ de un ███████ ██████████ $T^{*}M$ —como ██████████. Esta ████████████ se ███████ en la ██████, █ su ██████████ █████ que ███ con la ████████ de los ███████ (██████ █ █████) en ███████████ como ${x'}^{\,i}=\Lambda _{j}^{i}x^{j}$ para $\mathbf {x} '={\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {x}$ o $\omega '_{i}=\Lambda _{i}^{j}\omega _{j}$ para ${\boldsymbol {\omega }}'={\boldsymbol {\omega }}{\boldsymbol {\Lambda }}^{\textsf {T}}.$ En este ██████████ se ███████ que el ███████ de ██████████████ de ███████████ $\Lambda _{i}^{j}$ (que ██████████ la ██████ ${\boldsymbol {\Lambda }}^{\textsf {T}}$ ) █████ sobre las ███████████ █████████████ de la █████ ██████ que sobre los ████████ ████: $\mathbf {e} _{i}=\Lambda _{i}^{j}\mathbf {e} _{j}$ , ████████ que █████ de ██████ ███████ sobre las ███████████ ███████████ (pero de la █████ ██████ como en los ██████████ ████: $\mathbf {e} ^{i}=\Lambda _{j}^{i}\mathbf {e} ^{j}$ ). Esta ████████████ es █████████ a la █████████ en la ██████ de ██████████ ██████ son los ██████████ los que ██████ ██████████ en ███████ █, por █████, son ███████████████, ████████ que los ████████ en ███████ son ███████████ ya que ██████ ser ███████ █████ ████████. █████ ███████ ██████████ █ ██████████████.

██████ ███████

████ ██████ $F\colon C\to D$ ██████ el ██████ ███████ $F^{\mathrm {op} }\colon C^{\mathrm {op} }\to D^{\mathrm {op} }$ , donde $C^{\mathrm {op} }$ █ $D^{\mathrm {op} }$ son las ██████████ ████████ de $█$ █ $█$ . Por ██████████, $F^{\mathrm {op} }$ ██████ ███████ █ █████████ de la █████ ██████ que $█$ . ████ que $C^{\mathrm {op} }$ no ████████ con $█$ como █████████, █ de ██████ ███████ para $█$ , $F^{\mathrm {op} }$ se █████████ de $█$ . Por ███████, al ████████ $F\colon C_{0}\to C_{1}$ con $G\colon C_{1}^{\mathrm {op} }\to C_{2}$ , se ████ ████ $G\circ F^{\mathrm {op} }$ o $G^{\mathrm {op} }\circ F$ . ███████ en ██████ que, █████████ la █████████ de █████████ ███████, $\left(F^{\mathrm {op} }\right)^{\mathrm {op} }=F$ .

██████████ █ █████████████

Un ████████ (███████ ████████ como ██████ ███████) es un ██████ ████ ███████ es una █████████ ████████. Por ███████, el ████████████ █████████ es del ████ █^██ × █ → ███. █████ █████ como un ██████ con ███ ██████████. El ████████████ █████████ es un ███████ ███████; es ██████████████ en un █████████ █ ██████████ en el otro.

Un ███████████ es una ██████████████ del ████████ de ██████ a █ █████████. ████████, por ███████, un ████████ es un ███████████ con █= █.

███████████

███ █████████████ ███████████ de la ██████████ de los ████████ son:

█ ██████████ ████ ████████ ███████████ en █ en un ████████ ███████████ en █
Si █ es un ███████████ en █, ████████ █(█) es un ███████████ en █

Se ██████ ████████ ████████, es █████, si █ es un ██████ de A a █ █ █ es un ██████ de █ a █, ████████ se █████ ██████ el ██████ █████████ █ ∘ █ de A a █. La ███████████ de los ████████ es ██████████ donde se ██████. La █████████ de la ███████████ de ████████ es el ██████ █████████. ████ ███████ que los ████████ ██████ ████████████ como █████████ en ██████████ de ██████████, por ███████ en la █████████ de ██████████ ████████.

Una █████████ ███████ con un ████ ██████ es lo █████ que un ███████: los █████████ de una █████████ de un ████ ██████ ██████ ████████████ █████████ del ███████, █ la ███████████ en la █████████ se █████████ la █████████ ███████. Los ████████ entre ██████████ de un ████ ██████ ████████████ a █████████████ ████████. ████████, en ██████ ███████, los ████████ entre ██████████ ███████████ son una ███████ de ██████████████ de los █████████████ ████████ a ██████████ con ███ de un ██████.

████████

████████: Para las ██████████ █ █ █, un ████████ de ████ █ en █ es un ██████ ██████████ $D\colon J\to C$ .
██████ (██████ de ██████████): Para las ██████████ █ █ █, un ██████ █ en █ es un ██████ ██████████████ $D\colon C\to J$ . En el ████ ████████ en el que █ es un ████████, la █████████ de █████████ █ █████████, █ se ████████ ██████ en █.
████████ (sobre un ███████ ██████████): Si █ es un ███████ ██████████, ████████ los █████████ ████████ en █ ██████ un ████████ ████████████ ████████ ███████ (█) ████ █████████. Como ████ ████████ ████████████ ████████, ███████ (█) █████ una ███████ █████████ █████████ una ████ ██████ █ → █ si █ ████ si $U\subseteq V$ . Los ████████ ███████████████ en ███████ (█) se █████████ ████████ en █. Por ███████, █████████ a ████ ████████ ███████ █ el ███████ ██████████ de █████████ █████████ con ███████ ██████ en █, se ███████ un ██████ de ████████ en █.
██████ █████████: El ██████ █ → █ que ██████ ████ ██████ de █ a un ██████ ████ █ en █ █ ████ ████████ en █ al ████████ de █████████ en █. Este ████ de ██████ se ████████ ██████ █████████ o de █████████.
██████████: Un ██████ que ██████ una █████████ a esa █████ █████████; por ███████, el ██████ ██████████.
██████ █████████: En la █████████ █, ███████ █_█ o ██_█, ██████ un ██████ a sí █████ █ un ████████ a sí █████. El ██████ de █████████ es un ██████████.
██████ ████████: El ██████ ████████ se ██████ como el ██████ de █ a la █████████ de ██████ █^█ que █████ ████ ██████ en █ al ██████ █████████ en ese ██████.
██████ ██████: Para una █████████ de ███████ █ ████, si ████ ██████ █ → █ █████ un ██████ (por ███████, si █ está ████████), ████████ el ██████ ██████ █^█ → █ ██████ a ████ ██████ su ██████. La ██████████ de este ██████ se █████ ██████ al █████ ██████ de que es el ███████ por la ███████ del ██████ ████████ █ ███████ los ████████ ████████. ████ ████████ una ███████ ████████ del ██████ de ████████. Se ███████ █████████████ █████████ al ██████ ████████ (que ██████ a ████ ██████ su ████████ █ es ██████████).
██████ de █████████ de █████████: El ██████ de █████████ de █████████ █ : ███ → ███ ██████ ████ ████████ a su ████████ ████████ █ ████ ███████ $f\colon X\to Y$ a la ██████████ que █████ $U\in {\mathcal {P}}(X)$ a su ██████ $f(U)\in {\mathcal {P}}(Y)$ . ███████ se █████ ██████████ el ██████ de ████████ de █████████ ██████████████ que ████ ████████████ $f\colon X\to Y$ a la ██████████ que ████ ████████████ $V\subseteq Y$ a su ██████ $f^{-1}(V)\subseteq X.$ . Por ███████, si $X=\{0,1\}$ ████████ $F(X)={\mathcal {P}}(X)=\{\{\},\{0\},\{1\},X\}$ . █████████ que $f(0)=\{\}$ █ $f(1)=X$ . ████████, $F(f)$ es la ███████ que █████ █████████ ███████████ $█$ de $█$ a su ██████ $f(U)$ , que en este ████ █████████ $\{\}\mapsto f(\{\})=\{\}$ , donde $\mapsto$ ██████ la ██████████ ████ $F(f)$ , por lo que ███████ ██████ ██████████ como $(F(f))(\{\})=\{\}$ . Para los █████ ███████, $\{0\}\mapsto f(\{0\})=\{f(0)\}=\{\{\}\},\$ $\{1\}\mapsto f(\{1\})=\{f(1)\}=\{X\},\$ $\{0,1\}\mapsto f(\{0,1\})=\{f(0),f(1)\}=\{\{\},X\}.$ ███████ en ██████ que $f(\{0,1\})$ ██████ en ████████████ una █████████ ███████ en $█$ . ███████ ████ ███████ en ██████ que, ██████ la ███████ $█$ en este ███████ se ██████ al ████████ de █████████ de $█$ , ese no █████ por qué ser el ████ en ███████.
███████ █████████ ████: La ██████████ que ██████ a ████ ███████ █████████ su ███████ ████ █ a ████ ██████████ ██████ su ████ o ███████████ es un ██████ ██████████████ de la █████████ de █████ los ████████ ███████████ sobre un ██████ ████ sobre sí █████.
█████ ███████████: ███████████ la █████████ de los ████████ ███████████ ████████, es █████, ████████ ███████████ con ██████ █████████████. Los ███████ son █████ (█, █_█), donde █ es un ███████ ██████████ █ █_█ es un █████ en █. Un ████████ de (█, █_█) a (█, █_█) █████ ████ por una ██████████ ████████ █ : █ → █ con █(█_█)= █_█. Para ████ ███████ ██████████ █ con un █████ ████████████ █_█, se █████ ███████ el █████ ███████████ ██████ en █_█, ████████ como █_█(█, █_█). Este es el █████ de las ██████ de ██████ ███████████ ███████ en █_█, con la █████████ ██████ de █████████████. Si █ : █ → █ es un ████████ de ████████ ███████████ ████████, ████████ ████ █████ en █ con █████ ████ █, _█ se █████ ████████ con █ para ████████ un █████ en █ con █████ ████ █_█. Esta █████████ es ██████████ con la ████████ de ████████████ ██████████ █ la ███████████ de ██████, █ se ███████ un ████████████ de ██████ de █(█, █_█) a █(█, █_█). Se ███████ ███ un ██████ de la █████████ de ████████ ███████████ █████████ a la █████████ de ██████. En la █████████ de ████████ ███████████ (sin ██████ █████████████), se ██████████ ██████ de █████████ de ██████ █████████, pero no se ██████ ████████ a █████ que █████████ un █████ █████. ███ se █████ el ████████ ███████████ en █████ del █████ ███████████, █ esta ████████████ es █████████.
███████ de █████████ █████████: Un ██████ ██████████████ de la █████████ de ████████ ███████████ (con ████████████ █████████ como █████████) a la █████████ de ████████ ███████████ ██████ se ███████ █████████ a ████ ███████ ██████████ █ el ███████ █(█) de █████ las █████████ █████████ de █████ ████ en ese ███████. ████ ██████████ ████████ █ : █ → █ ██████ un ███████ sobre un ██████ █(█) : █(█) → █(█) ████████ la █████ █(█)(█)= █ ∘ █ para ████ █ en █(█).
█████ █████████ █ ███████████: La ██████████ que █████ ████ ████████ █████████████ a su ███████ ████████ █ ████ ███████ █████████████ █████████████ a su ████████ es un ██████ ██████████ de la █████████ de ██████████ ██████████████ a la █████████ de los ████████ ███████████. Al █████ estas ██████████████ █████████ se ███████ el ███████ ████████, un ██████ ██████████ de la █████████ de ██████████ ██████████████ █████████ sobre la █████████ de ████████ ███████████ ██████. ████████, un ███████ ██████████ es un ██████ ██████████████, █████████████ la ███████████ del ███████ ████████ con el ███████ ████ ████████.
████████/████████████████ ████████: ████ █████ █ █████ ████████████ como una █████████ con un ████ ██████ █████ █████████ son los █████████ de █. Un ██████ de █ a ███ no es ███ que una ██████ de █████ de █ en un ████████ ██████████, es █████, un ████████ █. ████████, un ██████ de █ sobre una █████████ de ████████ ███████████, ████_█, es una ██████████████ de █. En ███████, un ██████ █ → █ █████ ████████████ como una ██████ de █ sobre un ██████ de la █████████ █. Si █ es un █████, ████████ esta ██████ es un ████████████ de █████.
████████ de ███: ███████ a ████ █████ de ███ ████ (████████) su ███████ de ███ ████ (████████) ██████ un ██████.
█████████ ███████████: Si █ ██████ la █████████ de ████████ ███████████ sobre un █████ ████, con ████████████ ████████ como █████████, ████████ el ████████ █████████ $V\otimes W$ ██████ un ██████ █ × █ → █ que es ██████████ en █████ ██████████.
████████ ███████████: el ██████ █ : ███ → ███ que ██████ un █████ a su ████████ ██████████ █ un ████████████ de ██████ a su ███████ ██████████ de █████████ es un ██████. ████████ como estos, que ███████ ██████ ██████████, se █████████ ██████ ██████████. Otro ███████ es el ██████ ███ → ██ que ██████ un ██████ a su █████ ████████ ███████ ██████████. Los █████████ en ███ (█████████████ de ███████) se ██████████ en █████████ en ██ (█████████████ de █████ ████████).
████████ ██████: Los ████████ ██████ ███ en la █████████ ███████ a los ████████ ███████████. El ██████ █████ █ : ███ → ███ █████ ████ ████████ █ al █████ █████ ████████ por █. Las █████████ se ███████ a █████████████ de █████ entre ██████ ██████. ███████ ██████████████ ██████ para ██████ ██████████ ███████ en █████████ █████████████ (█████ ██████ █████).
██████ de ████████████: A ████ ███ A, █ de ██████ █████████ se le █████ ███████ el █████ ████████ ███(A, █) que ██████ de █████ los █████████████ de ██████ desde A hasta █. Este es un ██████ que es ██████████████ en el ██████ █████████ █ ██████████ en el ███████ █████████, es █████, es un ██████ ██^██ × ██ → ██ (donde ██ ██████ la █████████ de ██████ █████████ con █████████████ de █████). Si █ : A_█ → A_█ █ █ : █_█ → █_█ son █████████ en ██, ████████ el ████████████ de █████ ███(█, █): ███(A_█, █_█) → ███(A_█, █_█) █████ ████ por █ ↦ █ ∘ █ ∘ █ (█████ ██████ █████████.
████████ ██████████████: Se █████ ███████████ el ███████ ████████ a █████████ █████████ █. A ████ ███ █, █ de ███████ en █ se le █████ ███████ el ████████ ███(█, █) de █████████ de █ sobre █. ████ ██████ un ██████ para ███ que es ██████████████ en el ██████ █████████ █ ██████████ en el ███████, es █████, es un ██████ █^██ × █ → ███. Si █ : █_█ → █_█ █ █ : █_█ → █_█ son █████████ en █, ████████ la ██████████ ███(█, █) : ███(█_█, █_█) → ███(█_█, █_█) █████ ████ por █ ↦ █ ∘ █ ∘ █. ████████ como estos se █████████ ██████████████. Un ████████ ██████████ en ██████ ████████ es ██████████ si un ██████ ███████████ es █████████████.

█████ ███████

██████ de ██████████
██████ de un ██████