██████ (███████)

██ ██████████, ██ ███████████ ██ ███████ ████████, ██ ██████ █ ███ █████████ █████████ ████████ ██ ██ ███████ ██ ███ ████ ████████ ███ ██████████ ███████, ████████ █████ █ ████████, ████████ ███████████████ ███ $+$ █ $\cdot$ , ███ ██████ ██ █████████ ██████ █ ██████ ██████████ ███ ██████ ██████. ██ █████ █████ ██████████ ███ ██ ██████ █ █████ ██████ █████ ██████.

███████████ ███████

█'███████ $█$ , ██████ ██ ███ ██████████ ███████ $+$ █ $\cdot$ , █ ██ ██████ ██ ███████ ██ ████████ █████████:

$(A,+)$ █ ██ ██████ ████████ ███ ████████ ██████ $█$ :

$(a+b)+c=a+(b+c),$
$a+b=b+a,$
██████ ██ ████████ $0\in A$ ████ ███ $0+a=a+0=a,$
███ ████ $a\in A$ ██████ ██ ████████ $-a\in A$ ████ ███ $a+(-a)=(-a)+a=0.$

$(A,\cdot )$ █ ██ ██████████:

$(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c).$

██ ███████████████ █ ████████████ ████████ ████ █████:

$a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c),$
$(a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c).$

██ █████████ ██████ ██████ ███ ████ $█$ , $█$ █ $█$ ██ $█$ .

████ ███ █ ██████, ██ ███████ $\cdot$ ███ ██ ███████████████ █ ██████ ██████.

██████ ███████ ████████ ██████ ███ ██████████ █████████ █████████: ██ █████ ██ ███████████████ █ ███████████, $█$ █ █████ ██████ ███████████, ██ ███████ ██ ████████ ██████ (████████████ ████████ ███ $█$ ; ████ $(A,\cdot )$ █ ██ ███████) ██████ █'██████ █ ████████; ██ ███ █'██████ █ ███████████ █ ███ ████████ ████████ █████ $█$ (████ ██ $ab=0$ ██████ ██████ ███ ███ $█$ █ $█$ █ $█$ ) ██ █ ██ ████████ ██ ██ ███████ █'█████████.

██ █████ █ ██ ██████ ███ █████ █ ███ ████████ ███ █████ █████ ███████ ██████████████. ██ █████ █ ██ ██████ ███████████ ███ █████ █ ███ ████████ ███ █████ █████ ███████ ██████████████, █████ ██ █████ ███████████. █'███████ ███ ██████████ ██ █████ ███ ███████████ █ ██ █████ $\mathbb {H}$ ███ ███████████, ██████ ███ ███████ $\mathbb {Q}$ (██████ █████████), $\mathbb {R}$ (██████ █████) █ $\mathbb {C}$ (██████ █████████) ████ ██████ ██ █████.

█ █████ ██ ███████████ ██ ██████ █ ██████████ ███████. ██ ███ ██████████ ██ ██████ ██████████ █ ██ █████████ ███ █'██████ ████████ █████ █'█████: ███ █ ██████████ ███ ████████ ██████ ███████████ ██ ████ ████████ █ █████ ████. ██ ██████ ████, ███ █████████ ████ █████████ ███ ██████████ ████ ██████, █████ █████ ██ ███████ ████████████. █████ ██████ ███ ██████████ █'█████████████ ███ ████████ .

██████

█'███████ ███ ████████ █████ █████████ ██ ██████ █ █'███████ $\mathbb {Z}$ ███ ██████ ██████, ██████ █████ ██████ ██████████ ██ █████ █ ████████. ████ ██████ █ ███████████ ██ █ ██ ███████ █'█████████. █'███████ ███ ██████ ████████ ███ █ ██████ ██ ██████, ██████ ███ ████████ ███ ███████ ████████ ███'█████████.

████ ██████ ████, █'███████ $A[x]$ ███ ████████ ███ █████████ $█$ , █ ████████████ ██ ██ ██████ $█$ , █ ██ ██████ ███ ██ ██████ ██████████ ██ █████ █ ████████ ███ ████████. ████ ██████ ███████ █████ █████████ ██ ██████ ██ $█$ , █████ ██ █████████████ █ █'███████ ██ ████████ █████ █. █████ █'███████ $F(X,A)$ █████ ████████ ██ ██ ███████ █████████ $█$ ██ ██ ██████ $█$ █████ ██ █████ ██████ ███ ██ ██████ ██████████ ██ █████ █ ████████ ███ ████████ █████ █ █████, ████████ ███ ████ ████████:

(f+g)(x)=f(x)+g(x),\quad (f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x).

██ ██████ ███ ███████████ █ ██████ █'██████ █████ ███████ $n\times n$ (███ $n\geq 2$ ) █ ██████ ██ ██ ██████ $█$ (████████ ███ $M(n,A)$ ), ███ ██ ██████████ ██ █████ █ ████████ ███ ███████. ████████████ ██████ ██████ ████████ █████ ███ ████████ █████ ████. ██ ███████, ██ $M(2,\mathbb {R} )$ ███████ ██ █████████:

{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&1\\1&0\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1\\1&0\\\end{pmatrix}},

{\begin{pmatrix}1&1\\1&0\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&1\\0&1\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\\\end{pmatrix}},