███-█████

In de ██████████████, een ██████████ van de ████████, is een ███-█████ een █████ die ██████ een █████████████████ █████████ is, met de ██████████ dat de █████████████████ ██████████ zijn met █████████████████ ██████████. ███-███████ zijn ████████ naar de ███-██████ ██████ ██████████ ██████ ███, die er met zijn ███████ van ████████ ████████████████████ de █████ voor █████. ███-███████ worden onder ██████ ████████ om ████████ ███████████ te ██████████.

███-███████ █████████████ de █████ ███████████ ███████ van ████████ █████████ van ██████████ ████████ en ██████████. ████████ zijn ███-███████ in veel ████████████ ██████ de ███████████ ███- en ████████████ ███████████ █████████ ████████████ ████████. ███-███████ ██████ een ██████████ ████████ voor het ██████████ van ████████ ███████████ van ███████████████████████████, dit op ████████ ████████ ██████ als █████████████████ in de █████████████ worden ████████ voor het ██████████ van de ████████ ███████████ van ████████████ ██████████████. Een ███████████ van de █████████████ naar het █████ van de ████████ ████████████████ was een van ████ █████████████ ██████████.

█████████

███-███████ zijn ██████ ███████████ en ██████ ████████ worden ██████████ met ██████ van de █████████████████████, dit in █████████████ tot de meer ████████ ████████████ ███████. Een van de █████████████ van ██████ ███ in de ███████ van ███-███████ is het █████████ van het ███████ ██████, de █████, door zijn ██████ of ███████████████ ██████, die ███ ████ zijn "██████████████ █████" ██████ en die █████████ ██████ is ████████ als zijn ███-███████.

███-███████ ██████ op █████████████ ███████ een ███████████ ███ in de ███████ █████████. █████ █████ ███████████████ in zijn ████████ ████████ dat men █████████████ "███████████" kan ██████████ als "het ████████████ van een █████████ ██████████████████ die ████████ ███████████ █████████████" █████████ ████. De ███████████ █████████ ████ ███████ met de █████ van de █████ █(█) van ████████████████ ██████████████ (███████████) van de ███████████ ██████, $\mathbb {R} ^{3}$ , de ████████ of ████████████ █████████ ████ ███████ met het ██████████ van de █████ tot de ████████████ █████, ███████ men in de ███████████ █████████ ██████████████ is in █████████████ die █████████ zijn onder de ███████████ █████. Dit ████ ██████ █████ tot het ██████ █-█████████, ██████ $█$ een ███-█████ is van "██████" ███████████ van een █████████. Op een "███████" ██████, ██████ als een ███-█████ op een ██████████ ██████ ███████, █████ een ███████-█████████ of een █████████████ █████████, ████████ deze ███████████████ een ██████ ████ van ██████████ en ██████ een █████ ████████████ █████████ op. De ████████████ van ████████ ███████████, ██████████ door een ███-█████ die ███████ op een █████████, ███████ haar █████████ en ███████████████ de ███████ van de █████████. ████████ ██████ van ███-███████ zijn van █████████ ██████ en worden ██████████ in de ████████████████████.

In de █████ ███████ van de ██████████ ████ ███████████ ██████ █████████ zich dat veel ████████████ ██████████ met ██████████ tot ███-███████ ████████ ███████████ ██████ worden ██████████. Dit ███████ ███ ██████████ tot de ███████ van de ████████████ ███████ over een ███████████ ███████/████. Deze ███████ ██████ ██████ █████████████ ██████ de █████████ ███████, ███████ zij ███████ in een ████████ ███████████ voor de ██████ ███████ ████████████ ███████. █████████ █████ voor de ████████████ █████████. De ███████ van de █████████ ██████, een ███████████ ███ van de ███████ ████████████, █████ zich █████████ █████ met ███████ van ███-███████ over █████-██████.

██████████ en ███████████

Een █████ ███-█████ is een █████ die ██████ een ██████-████████████ █████ ██████ █████████ is, ██████ █████████████████ voor de █████████ █████████████████ en ███████ zijn ████████████ ███████ het █████████ een ██████ ██████████ is ( $C^{\infty }$ -█████████, ███ ook ██████████████████████). ████████ van de ███████████████████████

\mu \colon G\times G\to G;\quad \mu (x,y)=xy

████████ dat $\mu$ een "█████" ██████████ van de ████████████████ $G\times G$ op $█$ is. Deze ████ █████████ ██████ tot de ██████ ██████████ worden ███████ dat

(x,y)\mapsto x^{-1}y

een ██████ ██████████ van de ████████████████ op $█$ ████ zijn.

██████ ███████████

De █████ █████████████ █×█-████████ ██████ een █████ onder █████████████████, die wordt █████████ met $\mathrm {GL} _{2}(\mathbb {R} )$ :

\mathrm {GL} _{2}(\mathbb {R} )=\left\{A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:\det A=ad-bc\neq 0\right\}

Dit is een ████████████████ niet-████████ █████ ███-█████. Deze █████ is ██████████████; hij ███████ uit ████ █████████████ ███████████ die ████████████ met de █████████ en █████████ ███████ van de ███████████.

De ███████████████ ██████ een ██████████ die wordt █████████ met $\mathrm {SO} _{2}(\mathbb {R} )$ .

Deze ██████████ is uit ████████ een ███-█████: meer █████████, een ███████████████ ████████ █████████████ ███-█████ die ██████████ is met de ██████. Door ███████ te █████ van de █████████ (███████████)

\varphi

als █████████, kan deze █████ als █████ worden ████████████████:

\mathrm {SO} _{2}(\mathbb {R} )=\left\{{\begin{pmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}:\varphi \in \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} \right\}

████████ van ██████ ████ ███████ met █████████████████ van de █████████ van

\mathrm {SO} _{2}(\mathbb {R} )

, en het █████ van de █████████████████ ████ ████ ███████ met ██████████. Dus █████ de █████████████████ als ████████ zijn █████████████████ ████████████.

De ███████████ █████ █████ ook een ███████████ █████████ van een ███-█████.

Al deze ██████████ ███████████ van ███-███████ ███████ tot de █████████ ███████.

████████████ █████████

Een ████████ ███-█████ wordt op ████████ ██████ ████████████ door ███████ te █████ van ████████ ███████████ in ██████ van █████ (████████████: $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {C} )$ ), en op ████████ █████ kan men een $█$ -███████ ███-█████ over de $█$ -███████ ████████ ██████████. ████████ ██████ ████████ ████ ████ op de █████ of het █████████ van █████████████████ ███████████ door ████████████- of ███████████ ███████████ ██████ ███████████ kan █████████. Het ████████ ██████ █████ ████████ te zijn: in ████ ███████ ███████, ██████████ en ██████ aan dat als $█$ een ████████████ █████████ met ████████ █████████████████ zou zijn, er ███████ een ███████████ █████████ op $█$ zou ███████ die in een ███-█████ █████████ (███ ook het █████████ van ███████-█████). Als men ████████ dat de █████████████ █████████ ████████ ████████████ is (████████████, een ███████-█████████), ████ men bij het ██████ van een ████████-████████████ ███-█████ ███████. Het is ████████ om ███████ van ████ ███-███████ over ███████ ██████ te ██████████, en █████ █████ de ██████ van de ███████████ van ███████ ████████████ ███████.

De ████ van de ███████████████ ████████ in een ████████ █████████ van ███-███████: een ███-█████ is een ████████████ in de █████████ van ██████ ███████████. Dit is ██████████, omdat het █████████████ van het ██████ ███-█████ naar ███-████████████ ████████ █████.

Meer ███████████ van ███-███████

$(\mathbb {R} ^{n},+)$ is een ██████ ███-█████.
$S^{1}=\left\{z\in \mathbb {C} |\left|z\right|=1\right\}$ is een ██████ ███-█████ voor de █████████████████ van ████████ ████████ en ██████████ ███████ het ██████ ████████████████ in het ████████ ████.
Als $█$ en $█$ ███-███████ zijn, ███████ er █████████████████████ om van het ██████████ ███████ $G\times H$ █████ een █████ als een ██████ █████████ te █████, en het is niet ████████ in te ████ dat dit ███████ een ███-█████ is.
De ████████ ████████ ████████████ van █ ██████ een ██████ █████ voor de █████████████████. Dit is een ███-█████ die ███████ is met $S^{1}\times (\mathbb {R} ,+)$ ███ het ███████████

S^{1}\times \mathbb {R} \to \mathbb {C} ^{*}\colon (z,r)\mapsto z\cdot e^{r}